Carrousel de Coriolis

Comparer le même palet libre dans un référentiel de laboratoire immobile et un référentiel tournant avec une plateforme horizontale sans frottement. La trajectoire de laboratoire est droite ; une trajectoire courbe dans la vue tournante vient du changement de référentiel.

Conditions de lâcher

Réglez une vitesse angulaire constante ω de −4 à 4 rad/s, une vitesse initiale v₀ de 0 à 6 m/s, un angle de lancer α de −180 à 180°, et un rayon de départ r₀ de 0 à 1,2 m. Les valeurs nulles sont valides. Le rayon de la plateforme est 1,45 m. Tous les calculs s’exécutent dans votre navigateur.

Les deux systèmes de coordonnées sont alignés lorsque le palet est lâché à t = 0, en (r₀, 0). Vu de dessus, un ω positif signifie une rotation antihoraire. La vitesse initiale v₀ est relative à la plateforme. L’angle α se mesure dans le sens antihoraire depuis la direction radiale sortante +x : 0° pointe vers l’extérieur, 90° est tangentiel antihoraire, et −90° est tangentiel horaire.

Usage

Les deux trajectoires complètes et leur aperçu au repos se mettent à jour dès que les conditions changent. Lecture démarre l’horloge commune ; Pause l’arrête. Animation règle la vitesse de lecture sans modifier les résultats physiques. Le champ de temps et le curseur choisissent le même instant dans les deux vues. L’infobulle de la ligne de temps indique la fin et sa cause. Un temps invalide masque les marqueurs et valeurs actuels sans changer les trajectoires. Réinitialiser conserve les conditions et remet le temps à zéro.

Modifier une condition arrête l’ancienne animation et prépare une nouvelle comparaison. Les entrées incomplètes ou invalides restent enregistrées ; les anciens résultats sont masqués. Seuls les conditions brutes, l’exemple et la vitesse d’animation sont enregistrés. Recharger ou revenir à l’outil prépare une comparaison au repos, sans restaurer la trajectoire, le temps écoulé, le panneau de composantes ni la lecture. Masquer l’outil met en pause, sans rattraper le temps réel écoulé.

Exemples

• Radialement vers l’extérieur utilise ω = 1,2 rad/s, v₀ = 2,5 m/s, α = 0° et r₀ = 0,6 m. Inverser ω reflète les composantes y de cet exemple radial.
• Avec une plateforme immobile, ω = 0 et les deux vues coïncident exactement.
• Lâcher avec la plateforme fixe v₀ = 0. Le palet conserve la vitesse tangentielle de laboratoire de la plateforme ωr₀ ; une vitesse de lâcher relative nulle ne signifie pas en général le repos au laboratoire.
• Au repos au laboratoire utilise ω = 1,2 rad/s, v₀ = 0,72 m/s, α = −90° et r₀ = 0,6 m. Le lancer annule la vitesse tangentielle de la plateforme.
• Lancer depuis le centre fixe r₀ = 0, donc il n’y a pas de vitesse tangentielle initiale de plateforme.

Positions et vitesses

On écrit I pour les coordonnées de laboratoire, R pour les coordonnées tournantes, et J(x, y) = (−y, x). La vitesse de laboratoire est vᴵ = (v₀ cos α, v₀ sin α + ωr₀), et la position est rᴵ(t) = (r₀, 0) + vᴵt. La rotation vers le référentiel mobile donne rᴿ = R(−ωt)rᴵ, où R est la matrice de rotation antihoraire usuelle. Ainsi xᴿ = cos(ωt)xᴵ + sin(ωt)yᴵ et yᴿ = −sin(ωt)xᴵ + cos(ωt)yᴵ.

La vitesse instantanée dans le référentiel tournant est vᴿ = R(−ωt)vᴵ − ωJrᴿ. L’accélération de Coriolis est aCor = −2ωJvᴿ, l’accélération centrifuge est aCent = ω²rᴿ, et l’accélération totale dans le référentiel tournant est aᴿ = aCor + aCent. Le terme de Coriolis utilise la vitesse courante du référentiel tournant, pas une vitesse initiale fixe. Ces accélérations naissent des coordonnées tournantes ; il n’y a pas de force externe horizontale sur le palet de laboratoire.

Ouvrez les détails des composantes pour les positions, vitesses et les deux termes d’accélération. Les deux graphiques utilisent la même échelle, avec x et y en mètres et des limites de coordonnées ±1,65 m. Les rayons de la plateforme et la marque de lâcher tournent dans le sens antihoraire pour un ω positif au laboratoire ; ils restent fixes dans le référentiel tournant.

Fin de la trajectoire

Les deux trajectoires s’arrêtent au premier contact avec le bord de plateforme de 1,45 m, ou après une fenêtre d’observation de 5 s si aucun contact n’a lieu plus tôt. Le temps de contact est l’intersection analytique de la trajectoire de laboratoire droite avec le cercle. Un palet au repos au laboratoire n’a pas d’événement de contact au bord. Le modèle ne continue pas une collision ni une chute au-delà du bord.

Les traces viennent de positions analytiques avec au moins 100 intervalles et au plus 0,02 rad de rotation de plateforme par intervalle. Chacune contient au plus 1001 points. La sonde temporelle est évaluée séparément et n’est pas limitée à ces points stockés. Les valeurs affichées sont arrondies, avec notation scientifique pour les petites valeurs non nulles.

Hypothèses et source

La plateforme est horizontale et sans frottement, avec une vitesse angulaire constante et aucune force externe horizontale sur le palet. Le frottement, la rotation de la Terre, la balistique verticale et les changements de vitesse angulaire sont hors du modèle.

Douglas Cline, §12.8 Coriolis Force, équations 12.41 et 12.42 et l’exemple du palet libre, fournit les relations d’accélération du référentiel tournant. La solution en coordonnées, la conversion de vitesse initiale et les bornes de trajectoire finie ici sont dérivées pour cet outil.