Application complexe

Choisissez un exemple ou éditez l’application, puis sélectionnez Afficher. Le plan gauche contient z ; le droit contient w = f(z). Touchez un point à l’intérieur des axes source ou éditez Re(z) et Im(z) pour mettre à jour les deux marqueurs et leurs coordonnées. Éditer l’application, ses coefficients, la densité de grille ou la fenêtre d’image retire le résultat précédent jusqu’à ce que Afficher soit à nouveau sélectionné. Effacer retire le résultat et conserve les entrées.

La fenêtre source est fixe à −2,5 ≤ Re(z), Im(z) ≤ 2,5. Chaque direction a 4–32 intervalles de grille. Image ± est la demi-étendue de la fenêtre d’image, de 0,1 à 100. Les deux plans ont des échelles horizontale et verticale égales dans leurs propres axes ; leurs plages affichées peuvent différer. Les courbes orange en pointillés correspondent à Im(z) constant, les courbes bleues continues à Re(z) constant. Une image hors de la fenêtre reste un nombre ; elle n’est pas remplacée par un marqueur au bord.

Les applications sont f(z) = z² et f(z) = (az + b)/(cz + d), avec des coefficients réels a, b, c, d entre −5 et 5. Les applications de Möbius exigent ad − bc ≠ 0. Un redimensionnement commun des quatre coefficients laisse l’application inchangée. Après normalisation par leur plus grande valeur absolue, les déterminants de magnitude au plus 64·ε·(|ad| + |bc|), où ε est la précision machine, sont rejetés comme numériquement mal déterminés. Ce critère numérique n’est pas une preuve de dégénérescence exacte.

Pour une application de Möbius, le pôle est −d/c lorsque c ≠ 0 et le zéro est −b/a lorsque a ≠ 0 ; sinon l’emplacement respectif est ∞. Aussi f(∞) = a/c lorsque c ≠ 0, et ∞ sinon. L’emplacement de pôle affiché, le plus proche représentable, est reconnu exactement ; un voisinage autour de lui n’est pas traité comme l’infini. Un débordement de valeur finie est signalé séparément. L’application z² a un zéro et un point critique en 0 : parce que f′(0) = 0, elle n’est pas conforme là. Loin des points critiques et des pôles, ces applications holomorphes préservent localement les angles orientés.

Sphère de Riemann. Pour w = u + iv la convention utilisée ici est S(w) = (2u, |w|² − 1, 2v)/(1 + |w|²). Ainsi S(0) = (0, −1, 0), S(1) = (1, 0, 0), S(i) = (0, 0, 1) et S(∞) = (0, 1, 0). La coordonnée verticale est y. L’angle de vue tourne autour de y, puis l’inclinaison autour de l’axe horizontal de l’écran. Ces commandes ne changent que la vue orthographique, pas l’application. Des courbes plus claires en pointillés et une sonde creuse distinguent le verso. L’infini est un point sur cette sphère, pas une valeur finie sur les axes d’image.

La densité de grille ne fixe pas la résolution des courbes. Le dessin du plan sépare les vrais pôles et coupe les courbes d’image à la fenêtre ; les morceaux visibles sont raffinés en coordonnées d’écran. Les images de droites de Möbius sont des arcs circulaires ou droits ; leurs images sur la sphère se situent sur des cercles. Le raffinement de dessin est une approximation sans garantie d’erreur globale revendiquée. Le PNG contient la vue active, les axes, les étiquettes et un fond. Il n’y a ni animation ni exigence WebGL.

Les saisies, même inachevées et les coefficients inactifs, la vue et les panneaux ouverts sont enregistrés localement. Une application déjà affichée est reconstruite au rechargement ; à la première ouverture, l’outil attend Afficher. Un point ou un angle invalide reste modifiable sans effacer l’application.

Sources : Jeremy Orloff, MIT 18.04, Topic 10, pp. 3–8, sur les applications conformes et de Möbius ; David W. Lyons, Stereographic projection, especially Exercise 2. La convention d’axe vertical de la sphère ici échange les coordonnées y et z de la source.

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