Orbites à force centrale

Une particule de masse unitaire se déplace dans un plan sous la force radiale attractive F = −k/rⁿ, pour n = 1, 2 ou 3. Toutes les grandeurs du modèle sont sans dimension. Elle part de (x,y) = (r₀,0) avec (vₓ,vᵧ) = (0,vₜ). Les entrées sont k = 0,2–3, r₀ = 0,3–2,5 et vₜ = 0–6. Le bouton Vitesse circulaire règle vₜ = √(k/r₀ⁿ⁻¹) avec la précision flottante disponible. Il change l’entrée sans lancer un calcul.

Le potentiel est U(r) = k ln(r/1) pour n = 1, −k/r pour n = 2 et −k/(2r²) pour n = 3. Le rayon de référence du potentiel logarithmique est 1. L’énergie E = (vₓ²+vᵧ²)/2 + U(r) et le moment angulaire L = xvᵧ−yvₓ sont calculés à partir de chaque état stocké. Le potentiel effectif Ueff(r) = U(r) + L₀²/(2r²) utilise le moment angulaire initial ; sa ligne de référence en tirets est l’énergie initiale E₀.

Seule la loi en inverse du carré n = 2 affiche l’excentricité de Kepler e = |r₀vₜ²/k−1|. Pour E₀ < 0 et L₀ > 0 elle affiche aussi la période analytique 2π√(a³/k), avec a = −k/(2E₀). Un départ radial n’a pas de période orbitale affichée. Aucune excentricité de conique ni période générale n’est inférée pour n = 1 ou 3. Les préréglages montrent une orbite inverse-carré circulaire et une elliptique, une rosette n = 1, une orbite d’échappement n = 2, et une plongée vers l’intérieur n = 3. Sélectionner un préréglage ne fait que préparer les entrées.

L’horizon d’intégration T est 0,5–50 et le pas maximal h est 0,0005–0,02. Runge–Kutta cartésien d’ordre quatre utilise un pas au plus min(h, 0.005r/|v|, 0.005√(rⁿ⁺¹/k), T−t) ; la borne basée sur la vitesse est omise à vitesse nulle. Cette restriction géométrique n’est pas une garantie d’erreur. Tous les états acceptés restent stockés. Un h plus petit peut améliorer la précision là où il réduit encore le pas réel ; les longues exécutions et de nombreuses révolutions peuvent encore accumuler de l’erreur.

Le calcul s’arrête à T, au rayon numérique intérieur 0,05r₀, au rayon extérieur 20r₀, ou à 250000 pas acceptés. Les traversées de rayon sont localisées dans un pas ; un point de retournement radial intérieur est aussi vérifié pour ne pas sauter une brève excursion. Le centre singulier n’est jamais traversé. Un état numérique non fini arrête le calcul avec une erreur. Une coupure de rayon est une borne de calcul, pas un modèle de collision physique ni un critère d’échappement général : sous n = 1 une particule qui s’éloigne peut revenir. La raison et le temps de fin réels restent visibles.

Les changements d’énergie et de moment angulaire rapportés sont les valeurs signées E−E₀ et L−L₀ au curseur, ainsi que leurs plus grands changements absolus sur la trajectoire stockée. Ce ne sont pas des erreurs relatives, donc une énergie ou un moment angulaire initial nul est valide. Les valeurs initiales et courantes sont tenues séparées.

Simuler calcule par portions annulables. La lecture parcourt ensuite l’intervalle calculé en huit secondes d’affichage, au plus 0,25 seconde d’affichage par image. Elle sélectionne le dernier état stocké à ou avant le temps demandé ; elle n’intègre pas de nouveau ni n’invente de positions intermédiaires. Tout le trajet reste visible à échelles x/y égales. Seule la polyligne dessinée peut être simplifiée dans 0,25 pixel d’écran ; tous les états numériques et valeurs de dérive sont conservés. Lire à la fin redémarre depuis le début, tandis que Fin sélectionne l’état final. Pause, masquage ou départ écarte le temps de lecture écoulé ; les calculs en attente sont annulés si masqués ou quittés.

Sources : MIT, Peraire et Widnall, Cours 16 ; Fitzpatrick, General central-force motion ; et Exercises on central orbits. Les plages de paramètres, coupures numériques et cadence de lecture sont des choix de cet outil.

Seuls les textes exacts des entrées sont gardés localement, même incomplets ou invalides. Ni trajectoire, ni temps de lecture, ni diagnostics ne sont conservés ; revenir demande une nouvelle simulation explicite. Réinitialiser ramène une trajectoire existante au premier état stocké avec les mêmes entrées et le graphe visible. Les noms des marqueurs sont dans les infobulles. Les explications numériques et physiques sont dans cette aide.