Chaînette et parabole

Cette comparaison statique utilise deux câbles idéalement flexibles entre des appuis de même hauteur. La coordonnée horizontale est x ∈ [−s,s], donc la portée complète est 2s. Les deux courbes ont la même flèche f. Les entrées sont a = 0,4–4 m, s = 1–6 m et le poids de chaînette w = 1–40 N/m de câble. Il n’y a ni étirement, ni rigidité de flexion, ni évaluation de résistance, ni modèle combiné de poids propre et de charge de tablier.

Avec S = s/a, la flèche est f = a(cosh S−1) = 2a sinh²(S/2). La profondeur est positive vers le bas depuis les appuis : y꜀(x) = a[cosh S−cosh(x/a)] et yₚ(x) = f[1−(x/s)²]. Les deux sont exactement nulles en x = ±s et égales à f en x = 0. Le diagramme utilise x/s et profondeur/f pour que les petites et grandes flèches restent lisibles. Ses échelles horizontale et verticale ne sont pas égales en mètres. La portée, la flèche et les longueurs physiques restent disponibles comme nombres.

La chaînette porte un poids constant w par mètre de câble ; son poids total est G = wL꜀. Pour une comparaison explicite au même poids total, la parabole porte la charge constante q = G/(2s) par mètre horizontal. Cela ne signifie pas que les deux câbles ont le même poids par mètre de câble. Leurs tensions horizontales sont H꜀ = wa et Hₚ = qs²/(2f). Chaque appui porte la force verticale G/2. Les tensions maximales sont T꜀ = √(H꜀²+(G/2)²) et Tₚ = √(Hₚ²+(G/2)²). Le long des câbles, les tensions sont √(H꜀²+[wa sinh(x/a)]²) et √(Hₚ²+(qx)²).

Les flèches optionnelles vers le bas montrent la charge par mètre horizontal : q꜀(x) = w cosh(x/a) et qₚ(x) = q. Leurs longueurs de hampe partagent une échelle linéaire, avec une flèche de référence et sa valeur en N/m. Les courbes sont échantillonnées à des positions horizontales alternées lorsque les deux charges sont montrées, pour garder les flèches distinctes. La longueur de flèche est un symbole de charge, pas un déplacement physique. Changer la courbe ou les flèches affichées ne change pas la comparaison calculée.

Les longueurs sont analytiques : L꜀ = 2a sinh(s/a). Pour k = 2f/s, Lₚ = s[√(1+k²) + asinh(k)/k]. L’écart non négatif Δ(x) = y꜀(x)−yₚ(x) est nul aux appuis et au centre. Il a des maxima égaux en ±x*, où z = x*/a est l’unique solution positive de sinh(z)/z = 2(cosh S−1)/S² dans (0,S). Le maximum indiqué vient de cette solution intérieure, pas de la grille d’échantillons tracée. L’écart relatif normalisé est Δmax/f ; le graphique d’écart séparé reste en mètres. Des segments marqués dans la vue de forme combinée identifient ces mêmes emplacements.

La comparaison se met à jour dès que a, s ou w change. Les diagrammes de forme et d’écart précèdent les valeurs compactes ; forces et charges sont dans les détails. Afficher choisit la courbe visible sans modifier la comparaison. Charges ajoute des flèches sur une échelle commune. Réinitialiser rétablit les valeurs et la vue par défaut. Les saisies incomplètes ou invalides restent enregistrées, sans résultats périmés. Seuls les paramètres bruts et les choix d’affichage sont enregistrés. Recharger ou revenir recalcule la comparaison statique sans restaurer un ancien résultat ou graphique.

Sources : University of Cambridge, From parabolas to catenaries: solution dérive la chaînette, l’équilibre des forces et la longueur d’arc ; la page est marquée comme brouillon. NPTEL / IIT Kharagpur, Cables, Lesson 31 §31.3 dérive la parabole et les tensions pour une charge horizontale uniforme. Le poids total égal, les plages de paramètres et l’affichage normalisé sont des choix de cet outil.