Mouvement brownien

Diffusion bidimensionnelle

Les N trajectoires partent toutes de l’origine. Chaque pas de temps ajoute des incréments gaussiens indépendants à x et y, chacun de moyenne nulle et de variance 2DΔt. D se saisit en µm²/s, les positions sont en µm et les déplacements quadratiques en µm². La grille temporelle est t_j=jT/steps, y compris exactement 0 et T, avec Δt=T/steps. D=0 est un cas stationnaire valide.

Le modèle n’a ni parois, ni collisions, ni inertie, ni écoulement. C’est un modèle de diffusion, pas un film résolu d’impacts moléculaires. D est une entrée plutôt qu’une estimation à partir du rayon de particule, de la viscosité ou de la température.

Ensemble versus une trajectoire

À chaque instant, l’MSD d’ensemble est Σ(x_i²+y_i²)/N. Pour une trajectoire choisie, r²=x²+y² est son déplacement quadratique depuis l’origine. Ce n’est ni une longueur de chemin parcouru ni une MSD moyennée en temps. Pour les incréments gaussiens indépendants supposés, l’espérance d’ensemble théorique est 4Dt, obtenue en additionnant les deux variances de coordonnées. Un tirage fini fluctue autour de cette espérance ; ni la courbe d’ensemble ni une trajectoire unique n’ont à croître à chaque pas.

Le nuage et la trajectoire mise en évidence montrent le temps de raster choisi. Leurs axes conservent les bornes de toute la course et la même échelle x/y. Sans mouvement, le nuage utilise une étendue de référence ±1 µm le long de la plus petite dimension de tracé. Le graphique de statistiques montre toute la course calculée, y compris le r² de la trajectoire choisie, plus un curseur commun. Couleur et motifs de ligne distinguent les courbes.

Course reproductible, lecture séparée

Les limites sont D de 0 à 100 µm²/s, T de 0,5 à 5 s, 1 à 400 trajectoires et 20 à 500 pas. La graine est un entier de 0 à 2³²−1. Un LCG déterministe utilise state=(1664525·state+1013904223) modulo 2³² et u=(state+0.5)/2³². Deux valeurs u consécutives forment une paire de Box–Muller. Les tirages sont ordonnés par pas de temps, puis trajectoire, puis rayon et angle. La graine sert à des exemples pédagogiques reproductibles, pas à la cryptographie. Répéter la même configuration complète reproduit la course ; changer le nombre de trajectoires change l’affectation des tirages aléatoires suivants.

Simuler génère explicitement la course bornée par portions annulables et laisse le curseur en pause au dernier échantillon. Rejouer commence à zéro ; la lecture se déplace ensuite parmi les échantillons stockés sans tirer davantage de nombres aléatoires. Un pas avance une position de raster. Curseur, choix de trajectoire et changements d’ajustement réutilisent tous la même course. Une longue image de lecture avance au plus 0,25 s. Masquer l’outil met la lecture en pause et annule une génération inachevée ; aucun temps réel écoulé n’est rattrapé au retour.

Ajustement avec une ordonnée à l’origine

L’ajustement initial utilise toute la série d’ensemble. De et À choisissent un intervalle fermé avec 0≤De<À≤T et au moins deux instants d’échantillon inclus. Une petite tolérance d’extrémité d’au plus 4·Number.EPSILON·max(|t|,|De|,|À|,1) secondes ne compense que la représentation en virgule flottante ; elle n’arrondit pas l’intervalle à des pas entiers. Les vrais premier et dernier instants inclus et le nombre de points sont montrés.

Les moindres carrés ordinaires ajustent MSD=m·t+b avec des sommes centrées : m=Σ(t−t̄)(MSD−MSD̄)/Σ(t−t̄)² et b=MSD̄−mt̄. L’estimation de pente donne D_fit=m/4. L’ordonnée à l’origine n’est pas forcée à zéro, et la droite n’est tracée qu’entre les instants d’échantillon utilisés. Modifier l’intervalle actualise immédiatement l’ajustement ; des bornes invalides retirent l’ancienne droite.

Des intervalles courts ou fluctuants peuvent donner une pente négative et un D_fit négatif ; cette estimation reste visible et n’est pas une diffusivité physique négative. Les valeurs d’MSD à des instants différents sont corrélées, donc aucun intervalle de confiance à résidus indépendants ordinaires n’est présenté.

État et sources

MIT/Bazant, Lecture 20, page 2 décrit le modèle d’incréments gaussiens et ses limites. L’espérance 2D 4Dt suit ici en additionnant des variances de coordonnées indépendantes. NIST: least squares donne les formules de pente et d’ordonnée à l’origine.

Simuler à nouveau recrée la même configuration complète. Relire utilise les trajectoires enregistrées et repart de zéro, sans nouveaux tirages aléatoires.

Seuls les textes des paramètres, de la trajectoire choisie et des bornes d’ajustement sont conservés, même partiels ou invalides. Trajectoires calculées, ajustement, curseur et lecture sont libérés en quittant ; revenir ou recharger demande une nouvelle génération. Réinitialiser restaure les valeurs initiales et efface le calcul. Options contient grille temporelle, graine, nouvelle génération et pas. Les bornes actualisent directement la régression ; des bornes invalides retirent l’ancienne droite. Une trajectoire invalide masque son tracé, sa courbe individuelle et ses coordonnées, en gardant l’ensemble.