Comparaison brachistochrone

Un lâcher, trois trajectoires

Comparer une perle ponctuelle sans frottement lâchée du repos en A=(0,0) sur chacune de trois pistes guidées fixes. La coordonnée y pointe vers le bas. B=(πH/2,H) est la même extrémité pour toutes les pistes. La gravité est constante, g=9,81 m/s². La conservation de l’énergie donne v=√(2gy) ; la masse s’annule. C’est un modèle de particule ponctuelle avec un guide à deux faces, pas une bille qui roule ni un calcul de force de contact pour une rampe à une face.

Cycloïde et droite

La demi-cycloïde est x=(H/2)(θ−sinθ), y=(H/2)(1−cosθ), avec 0≤θ≤π. Son temps de parcours est T_c=π√(H/(2g)). L’angle croît linéairement avec le temps, même si la perle part à vitesse nulle. La cycloïde est la brachistochrone pour ces extrémités.

Soit X=πH/2 et D=√(X²+H²). La droite a un temps de parcours T_s=D√(2/(gH)) ; sa fraction de position est (t/T_s)². Le temps extra affiché est 100(T/T_c−1), avec la cycloïde comme référence.

Un vrai cercle

Un cercle ne peut joindre A et B que si R≥D/2. Aucune entrée n’est agrandie en silence. On définit h=√(R²−D²/4), C_x=X/2+hH/D, C_y=H/2−hX/D, et α=2atan2(D/2,h). L’arc plus petit choisi autour de C est : x=C_x(1−cosu)−C_ysinu et y=C_xsinu+C_y(1−cosu), pour 0≤u≤α. Il part vers le bas et son vrai rayon est R.

Cet arc peut d’abord aller à gauche de A ou passer sous B et remonter. Ce sont des formes de piste permises ; le diagramme inclut l’arc complet à échelle x/y égale. Son temps de parcours est l’intégrale de R du/√(2gy(u)). La substitution u=αq² retire la singularité au lâcher. Une quadrature contrôlée et une interpolation monotone en temps fournissent la position de la perle circulaire sans vitesse de départ artificielle.

Commandes et interprétation

H accepte des valeurs de 0,8 à 4 m. R doit être positif, au plus 6 m et au moins égal à la moitié de la distance AB. Les courbes et les temps se mettent à jour immédiatement. Lancer démarre la course ; Pas avance le temps commun de 0,04 s. Réinitialiser ramène les perles en A et conserve les entrées. Toute modification arrête la course. Les entrées incomplètes ou invalides restent enregistrées, sans résultat périmé. Recharger ou revenir à l’outil prépare une nouvelle comparaison au repos.

Les marqueurs restent en B après leur arrivée ; la vitesse indiquée est celle d’arrivée, sans modéliser un arrêt ou un choc. La fraction de temps est le temps écoulé divisé par le temps de chaque trajet, pas une distance. Masquer l’outil met en pause ; aucun temps réel n’est rattrapé au retour. Une longue image avance au plus de 0,25 s. Rejouer relance la même course.

Sources

Rutgers : the brachistochrone problem utilise une convention de gravité normalisée ; cet outil utilise le g physique explicite ci-dessus. Voir aussi Liberzon : the brachistochrone.