Aire de jeu Bézier cubique

Une courbe de Bézier cubique a quatre points de contrôle P₀…P₃. Elle commence en P₀ et se termine en P₃ ; les deux points intérieurs façonnent la courbe. Toutes les coordonnées utilisent les mêmes unités abstraites, pas des pixels. Les coordonnées doivent être finies et comprises entre −1000000 et +1000000. Le paramètre t est compris entre 0 et 1.

La courbe est évaluée par l’algorithme de de Casteljau : interpoler entre les points successifs, puis interpoler encore deux fois ces points intermédiaires. De façon équivalente, B(t) = (1−t)³P₀ + 3(1−t)²tP₁ + 3(1−t)t²P₂ + t³P₃. La dérivée est la courbe de Bézier quadratique de points de contrôle 3(P₁−P₀), 3(P₂−P₁) et 3(P₃−P₂). Les composantes de dérivée affichées sont par rapport à t, pas à la distance le long de la courbe.

La flèche de direction verte utilise B′(t)/|B′(t)|. Sa longueur d’affichage est fixe pour la vue courante et ne montre pas le module de la dérivée. Si B′(t) est exactement nul, aucune flèche de direction n’est indiquée. Un point de dérivée nulle peut néanmoins appartenir à une courbe non constante. L’exemple « Point stationnaire » l’illustre à t = 0,5.

Dessiner démarre la vue explicitement. Ensuite, le champ t et le curseur mettent à jour B(t) ensemble. Modifier une coordonnée efface l’ancien résultat jusqu’à un nouvel appui sur Dessiner. Les quatre points peuvent aussi être déplacés ; leurs champs numériques suivent le même calcul. La vue reste fixe pendant un glisser et s’adapte à tous les points de contrôle au relâchement. Un glisser annulé restaure les points précédents. Seules les poignées des points capturent les gestes tactiles ; le défilement et la molette restent normaux ailleurs. Pour des points coïncidents, focalisez l’un des champs numériques de ce point avant de faire glisser sa poignée.

Le tracé utilise un y positif vers le haut et des échelles x/y égales. La courbe est dans l’enveloppe convexe de ses points de contrôle. L’estimation de longueur optionnelle somme 100 cordes droites à des valeurs de t également espacées ; ce n’est pas une longueur d’arc exacte ni à contrôle d’erreur adaptatif. Les courbes constantes ont une longueur nulle. Vider la vue conserve les saisies et retire le tracé ; les saisies valides sont conservées à la navigation. Cet outil n’a ni mode quadratique, ni export, ni animation.

Sources : Michigan Technological University, algorithme de de Casteljau et dérivées de Bézier.