Aplicación compleja

Elige un ejemplo o edita la aplicación y pulsa Mostrar. El plano izquierdo contiene z; el derecho contiene w = f(z). Toca un punto dentro de los ejes de origen o edita Re(z) e Im(z) para actualizar ambos marcadores y sus coordenadas. Editar la aplicación, sus coeficientes, la densidad de rejilla o la ventana de imagen elimina el resultado anterior hasta pulsar Mostrar de nuevo. Vaciar elimina el resultado y conserva las entradas.

La ventana de origen está fija en −2,5 ≤ Re(z), Im(z) ≤ 2,5. Cada dirección tiene 4–32 intervalos de rejilla. Imagen ± es la semiextensión de la ventana de imagen, de 0,1 a 100. Ambos planos tienen escalas horizontal y vertical iguales dentro de sus propios ejes; sus rangos mostrados pueden diferir. Las curvas naranjas discontinuas corresponden a Im(z) constante, las azules continuas a Re(z) constante. Una imagen fuera de la ventana sigue siendo un número; no se sustituye por un marcador en el borde.

Las aplicaciones son f(z) = z² y f(z) = (az + b)/(cz + d), con coeficientes reales a, b, c, d entre −5 y 5. Los mapas de Möbius exigen ad − bc ≠ 0. Un reescalado común de los cuatro coeficientes deja la aplicación sin cambiar. Tras normalizar por su mayor valor absoluto, los determinantes de magnitud no mayor que 64·ε·(|ad| + |bc|), donde ε es la precisión de máquina, se rechazan como numéricamente mal determinados. Este criterio numérico no es una prueba de degeneración exacta.

Para un mapa de Möbius, el polo es −d/c cuando c ≠ 0 y el cero es −b/a cuando a ≠ 0; en caso contrario la ubicación respectiva es ∞. También f(∞) = a/c cuando c ≠ 0, y ∞ en caso contrario. La ubicación de polo mostrada, la representable más cercana, se reconoce exactamente; un entorno alrededor no se trata como infinito. Un desbordamiento de valor finito se informa por separado. El mapa z² tiene un cero y un punto crítico en 0: como f′(0) = 0, no es conforme allí. Lejos de puntos críticos y polos, estas aplicaciones holomorfas conservan ángulos orientados localmente.

Esfera de Riemann. Para w = u + iv la convención usada aquí es S(w) = (2u, |w|² − 1, 2v)/(1 + |w|²). Así S(0) = (0, −1, 0), S(1) = (1, 0, 0), S(i) = (0, 0, 1) y S(∞) = (0, 1, 0). La coordenada vertical es y. El ángulo de vista rota alrededor de y, luego la inclinación alrededor del eje horizontal de la pantalla. Estos controles cambian solo la vista ortográfica, no la aplicación. Las curvas discontinuas más claras y una sonda hueca distinguen el lado posterior. El infinito es un punto de esta esfera, no un valor finito en los ejes de imagen.

La densidad de rejilla no fija la resolución de las curvas. El dibujo del plano separa polos reales y recorta las curvas de imagen en la ventana; las piezas visibles se refinan en coordenadas de pantalla. Las imágenes de rectas de Möbius son arcos circulares o rectos; sus imágenes en la esfera yacen en círculos. El refinamiento del dibujo es una aproximación sin una garantía global de error reivindicada. El PNG contiene la vista activa, ejes, etiquetas y un fondo. No hay animación ni requisito de WebGL.

Las entradas, incluidos los coeficientes inactivos y sin terminar, la vista y los paneles abiertos se guardan localmente. Una aplicación ya mostrada se reconstruye al recargar; al abrir por primera vez, la herramienta espera Mostrar. Los puntos o ángulos inválidos siguen siendo editables sin borrar la aplicación.

Fuentes: Jeremy Orloff, MIT 18.04, Topic 10, pp. 3–8, sobre aplicaciones conformes y de Möbius; David W. Lyons, Stereographic projection, especially Exercise 2. La convención del eje vertical de la esfera aquí intercambia las coordenadas y y z de la fuente.

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