Órbitas de fuerza central

Una partícula de masa unidad se mueve en un plano bajo la fuerza radial atractiva F = −k/rⁿ, para n = 1, 2 o 3. Todas las magnitudes del modelo son adimensionales. Parte de (x,y) = (r₀,0) con (vₓ,vᵧ) = (0,vₜ). Las entradas son k = 0,2–3, r₀ = 0,3–2,5 y vₜ = 0–6. El botón Velocidad circular fija vₜ = √(k/r₀ⁿ⁻¹) con la precisión en punto flotante disponible. Cambia la entrada sin iniciar un cálculo.

El potencial es U(r) = k ln(r/1) para n = 1, −k/r para n = 2 y −k/(2r²) para n = 3. El radio de referencia del potencial logarítmico es 1. La energía E = (vₓ²+vᵧ²)/2 + U(r) y el momento angular L = xvᵧ−yvₓ se calculan a partir de cada estado almacenado. El potencial efectivo Ueff(r) = U(r) + L₀²/(2r²) usa el momento angular inicial; su línea de referencia discontinua es la energía inicial E₀.

Solo la ley de inverso del cuadrado n = 2 muestra la excentricidad de Kepler e = |r₀vₜ²/k−1|. Para E₀ < 0 y L₀ > 0 también muestra el periodo analítico 2π√(a³/k), con a = −k/(2E₀). Una partida radial no tiene periodo orbital mostrado. No se infiere excentricidad cónica ni periodo general para n = 1 o 3. Los ajustes muestran una órbita circular y una elíptica de inverso del cuadrado, una roseta n = 1, una órbita de escape n = 2 y una caída hacia el centro n = 3. Elegir un ajuste solo prepara las entradas.

El horizonte de integración T es 0,5–50 y el paso máximo h es 0,0005–0,02. Runge–Kutta cartesiano de cuarto orden usa un paso no mayor que min(h, 0.005r/|v|, 0.005√(rⁿ⁺¹/k), T−t); la cota basada en la velocidad se omite a velocidad nula. Esta restricción geométrica no es una garantía de error. Todos los estados aceptados permanecen almacenados. Un h menor puede mejorar la precisión cuando reduce aún más el paso real; las ejecuciones largas y muchas revoluciones pueden acumular error igualmente.

El cálculo termina en T, el radio numérico interior 0.05r₀, el radio exterior 20r₀, o 250000 pasos aceptados. Los cruces de radio se localizan dentro de un paso; también se comprueba un punto de retorno radial interior para no saltarse una excursión breve. El centro singular nunca se atraviesa. Un estado numérico no finito detiene el cálculo con un error. Un corte de radio es una frontera computacional, no un modelo de colisión física ni un criterio general de escape: bajo n = 1 una partícula que se aleja puede volver. El motivo y el instante reales de fin permanecen visibles.

Los cambios de energía y momento angular informados son valores signados E−E₀ y L−L₀ en el cursor, junto con sus mayores cambios absolutos a lo largo de la trayectoria almacenada. No son errores relativos, así que una energía o un momento angular inicial nulos son válidos. Los valores inicial y actual se mantienen separados.

Simular calcula en porciones cancelables. La reproducción recorre después el intervalo calculado en ocho segundos de pantalla, como máximo 0,25 segundos de pantalla por fotograma. Elige el último estado almacenado en o antes del tiempo pedido; no integra de nuevo ni inventa posiciones intermedias. Todo el camino permanece visible con escalas x/y iguales. Solo la polilínea dibujada puede simplificarse dentro de 0,25 píxeles de pantalla; se conservan todos los estados numéricos y los valores de deriva. Reproducir al final reinicia desde el principio, mientras que Fin elige el estado final. Pausar, ocultar o salir descarta el tiempo de reproducción transcurrido; los cálculos pendientes se cancelan al ocultar o salir.

Fuentes: MIT, Peraire and Widnall, Lecture 16; Fitzpatrick, General central-force motion; y Exercises on central orbits. Los rangos de parámetros, los cortes numéricos y la temporización de reproducción son elecciones de esta herramienta.

Solo se guardan localmente los textos exactos de entrada, incluso incompletos o inválidos. Nunca se conserva la trayectoria calculada, el tiempo ni los diagnósticos; volver requiere una nueva simulación explícita. Restablecer lleva una trayectoria existente al primer estado guardado con las mismas entradas y el gráfico visible. Los marcadores se explican en ayudas emergentes. Las explicaciones numéricas y físicas están en esta ayuda.