Catenaria y parábola

Esta comparación estática usa dos cables idealmente flexibles entre apoyos a igual altura. La coordenada horizontal es x ∈ [−s,s], así que la luz completa es 2s. Ambas curvas tienen la misma flecha f. Las entradas son a = 0,4–4 m, s = 1–6 m y peso de catenaria w = 1–40 N/m de cable. No hay estiramiento, rigidez a flexión, evaluación de resistencia ni modelo combinado de peso propio y carga de tablero.

Con S = s/a, la flecha es f = a(cosh S−1) = 2a sinh²(S/2). La profundidad es positiva hacia abajo desde los apoyos: y꜀(x) = a[cosh S−cosh(x/a)] e yₚ(x) = f[1−(x/s)²]. Ambas son exactamente cero en x = ±s e iguales a f en x = 0. El diagrama usa x/s y profundidad/f para que flechas pequeñas y grandes sigan siendo legibles. Sus escalas horizontal y vertical no son iguales en metros. La luz, la flecha y las longitudes físicas siguen disponibles como números.

La catenaria lleva un peso constante w por metro de cable; su peso total es G = wL꜀. Para una comparación explícita al mismo peso total, la parábola lleva la carga constante q = G/(2s) por metro horizontal. Eso no significa que ambos cables tengan el mismo peso por metro de cable. Sus tensiones horizontales son H꜀ = wa y Hₚ = qs²/(2f). Cada apoyo lleva la fuerza vertical G/2. Las tensiones máximas son T꜀ = √(H꜀²+(G/2)²) y Tₚ = √(Hₚ²+(G/2)²). A lo largo de los cables, las tensiones son √(H꜀²+[wa sinh(x/a)]²) y √(Hₚ²+(qx)²).

Las flechas opcionales hacia abajo muestran la carga por metro horizontal: q꜀(x) = w cosh(x/a) y qₚ(x) = q. Las longitudes de asta comparten una escala lineal, con una flecha de referencia y su valor en N/m. Las curvas se muestrean en posiciones horizontales alternas cuando se muestran ambas cargas, para mantener las flechas distintas. La longitud de flecha es un símbolo de carga, no un desplazamiento físico. Cambiar la curva o las flechas mostradas no cambia la comparación calculada.

Las longitudes son analíticas: L꜀ = 2a sinh(s/a). Para k = 2f/s, Lₚ = s[√(1+k²) + asinh(k)/k]. El hueco no negativo Δ(x) = y꜀(x)−yₚ(x) es cero en los apoyos y el centro. Tiene máximos iguales en ±x*, donde z = x*/a es la única solución positiva de sinh(z)/z = 2(cosh S−1)/S² en (0,S). El máximo informado proviene de esta solución interior, no de la rejilla de muestras dibujada. El hueco relativo normalizado es Δmax/f; el gráfico de hueco aparte permanece en metros. Los segmentos marcados en la vista de forma combinada identifican esas mismas ubicaciones.

La comparación se actualiza al cambiar a, s o w. Los gráficos de forma y diferencia preceden a los valores compactos; las fuerzas y cargas se pueden desplegar. Mostrar elige la curva visible sin cambiar la comparación. Cargas añade flechas con una escala común. Reiniciar restaura los valores y la vista iniciales. Las entradas incompletas o no válidas se guardan sin mostrar resultados antiguos. Solo se guardan los parámetros originales y las opciones de visualización. Recargar o volver recalcula la comparación estática sin restaurar resultados o gráficos anteriores.

Fuentes: University of Cambridge, From parabolas to catenaries: solution deriva la catenaria, el equilibrio de fuerzas y la longitud de arco; la página está etiquetada como borrador. NPTEL / IIT Kharagpur, Cables, Lesson 31 §31.3 deriva la parábola y las tensiones para una carga horizontal uniforme. El peso total igual, los rangos de parámetros y la visualización normalizada son elecciones de esta herramienta.