Movimiento browniano

Difusión bidimensional

Las N trayectorias parten del origen. Cada paso de tiempo añade incrementos gaussianos independientes a x e y, cada uno con media cero y varianza 2DΔt. D se introduce en µm²/s, las posiciones en µm y los desplazamientos al cuadrado en µm². La rejilla temporal es t_j=jT/steps, incluyendo exactamente 0 y T, con Δt=T/steps. D=0 es un caso estacionario válido.

El modelo no tiene paredes, colisiones, inercia ni flujo. Es un modelo de difusión, no una película resuelta de impactos moleculares. D es una entrada, no una estimación a partir del radio de partícula, la viscosidad o la temperatura.

Ensamble frente a una trayectoria

En cada tiempo, el MSD de ensamble es Σ(x_i²+y_i²)/N. Para una trayectoria elegida, r²=x²+y² es su desplazamiento al cuadrado desde el origen. No es longitud de camino recorrido ni un MSD promediado en el tiempo. Para los incrementos gaussianos independientes supuestos, la esperanza teórica de ensamble es 4Dt, obtenida sumando las dos varianzas de coordenada. Una corrida finita fluctúa alrededor de esta esperanza; ni la curva de ensamble ni una sola trayectoria tienen que crecer en cada paso.

La nube y la trayectoria resaltada muestran el tiempo de ráster elegido. Sus ejes conservan los límites de la corrida completa y la misma escala x/y. Sin movimiento, la nube usa una extensión de referencia de ±1 µm a lo largo de la dimensión de trazado menor. El gráfico de estadísticas muestra toda la corrida calculada, incluido el r² de la trayectoria elegida, más un cursor común. Color y patrones de línea distinguen las curvas.

Corrida reproducible, reproducción aparte

Los límites son D de 0 a 100 µm²/s, T de 0,5 a 5 s, 1 a 400 trayectorias y 20 a 500 pasos. La semilla es un entero de 0 a 2³²−1. Un LCG determinista usa state=(1664525·state+1013904223) módulo 2³² y u=(state+0.5)/2³². Dos valores u consecutivos forman un par Box–Muller. Los sorteos se ordenan por paso de tiempo, luego trayectoria, luego radio y ángulo. La semilla es para ejemplos didácticos reproducibles, no criptografía. Repetir la misma configuración completa reproduce la corrida; cambiar el número de trayectorias cambia cómo se asignan los sorteos aleatorios posteriores.

Simular genera de forma explícita la corrida acotada en porciones cancelables y deja el cursor en pausa en la muestra final. Reproducir empieza en cero; la reproducción recorre entonces muestras almacenadas sin extraer más números aleatorios. Un paso avanza una posición de ráster. Cursor, selección de trayectoria y cambios de ajuste reutilizan la misma corrida. Un fotograma de reproducción largo avanza como máximo 0,25 s. Ocultar la herramienta pausa la reproducción y cancela una generación inacabada; no se recupera el tiempo de pared transcurrido al volver.

Ajuste con intercepto

El ajuste inicial usa toda la serie de ensamble. Desde y Hasta eligen un intervalo cerrado con 0≤Desde<Hasta≤T y al menos dos tiempos de muestra incluidos. Una tolerancia minúscula de extremos de como máximo 4·Number.EPSILON·max(|t|,|Desde|,|Hasta|,1) segundos solo compensa la representación de coma flotante; no redondea el intervalo a pasos enteros. Se muestran el primer y el último tiempo incluidos reales y el número de puntos.

Mínimos cuadrados ordinarios ajustan MSD=m·t+b usando sumas centradas: m=Σ(t−t̄)(MSD−MSD̄)/Σ(t−t̄)² y b=MSD̄−mt̄. La estimación de pendiente da D_fit=m/4. El intercepto no se fuerza a cero, y la recta se dibuja solo entre los tiempos de muestra usados. Editar el intervalo actualiza inmediatamente el ajuste; límites inválidos retiran la recta anterior.

Intervalos cortos o fluctuantes pueden dar pendiente negativa y D_fit negativo; esta estimación permanece visible y no es una difusividad física negativa. Los valores de MSD a distintos tiempos están correlacionados, así que no se presenta un intervalo de confianza ordinario de residuales independientes.

Estado y fuentes

MIT/Bazant, Lecture 20, page 2 describe el modelo de incrementos gaussianos y sus limitaciones. La esperanza 2D 4Dt sigue aquí al sumar varianzas de coordenada independientes. NIST: least squares da las fórmulas de pendiente e intercepto.

Volver a simular recrea la misma configuración completa. Repetir usa las trayectorias guardadas desde cero, sin nuevos datos aleatorios.

Solo se conservan textos de parámetros, trayectoria seleccionada y límites del ajuste, incluso parciales o inválidos. Trayectorias calculadas, ajuste, cursor y reproducción se liberan al salir; volver o recargar requiere generar de nuevo. Restablecer recupera los valores iniciales y borra el cálculo. Opciones contiene malla temporal, semilla, nueva generación y paso. Los límites actualizan directamente la regresión; límites inválidos eliminan la recta anterior. Una trayectoria inválida oculta su trazado, curva individual y coordenadas, conservando el conjunto.