Comparación braquistócrona

Una suelta, tres caminos

Compara una cuenta puntual sin fricción soltada desde el reposo en A=(0,0) sobre cada una de tres pistas fijas guiadas. La coordenada y apunta hacia abajo. B=(πH/2,H) es el mismo extremo para todas las pistas. La gravedad es constante, g=9,81 m/s². La conservación de la energía da v=√(2gy); la masa se cancela. Es un modelo de partícula puntual con guía a ambos lados, no una bola que rueda ni un cálculo de fuerza de contacto para una rampa de un solo lado.

Cicloide y recta

La semicicloide es x=(H/2)(θ−sinθ), y=(H/2)(1−cosθ), con 0≤θ≤π. Su tiempo de recorrido es T_c=π√(H/(2g)). El ángulo crece linealmente con el tiempo, aunque la cuenta parte con velocidad nula. La cicloide es la braquistócrona para estos extremos.

Sean X=πH/2 y D=√(X²+H²). La recta tiene tiempo de recorrido T_s=D√(2/(gH)); su fracción de posición es (t/T_s)². El tiempo extra mostrado es 100(T/T_c−1), con la cicloide como referencia.

Un círculo genuino

Un círculo solo puede unir A y B si R≥D/2. Ninguna entrada se agranda en silencio. Se define h=√(R²−D²/4), C_x=X/2+hH/D, C_y=H/2−hX/D y α=2atan2(D/2,h). El arco menor elegido alrededor de C es: x=C_x(1−cosu)−C_ysinu e y=C_xsinu+C_y(1−cosu), para 0≤u≤α. Empieza hacia abajo y su radio verdadero es R.

Este arco puede primero ir a la izquierda de A o pasar por debajo de B y volver a subir. Son formas de pista permitidas; el diagrama incluye el arco completo a escala x/y igual. Su tiempo de recorrido es la integral de R du/√(2gy(u)). La sustitución u=αq² elimina la singularidad de suelta. Una cuadratura controlada y una interpolación temporal monótona dan la posición de la cuenta circular sin una velocidad inicial artificial.

Controles e interpretación

H acepta valores de 0,8 a 4 m. R debe ser positivo, como máximo 6 m y al menos la mitad de la distancia AB. Las curvas y los tiempos se actualizan inmediatamente. Ejecutar inicia la carrera; Paso avanza el tiempo común 0,04 s. Reiniciar devuelve las partículas a A y conserva las entradas. Editar detiene la carrera. Las entradas incompletas o no válidas se guardan, sin mostrar resultados antiguos. Recargar o volver a la herramienta prepara una comparación en reposo.

Los marcadores permanecen en B al llegar; la velocidad indicada es la de llegada, sin modelo de parada o impacto. La fracción de tiempo es el tiempo transcurrido dividido por el tiempo de cada recorrido, no la distancia. Ocultar la herramienta pausa la reproducción; no se recupera tiempo real al volver. Un fotograma largo avanza como máximo 0,25 s. Repetir inicia la misma carrera de nuevo.

Fuentes

Rutgers: the brachistochrone problem usa una convención de gravedad normalizada; esta herramienta usa la g física explícita anterior. Véase también Liberzon: the brachistochrone.