Cuenta en aro giratorio

Una cuenta puntual se desliza sin fricción sobre un aro circular vertical de radio R. Un motor mantiene el aro a velocidad angular constante ω alrededor de su diámetro vertical. La vista rota con el aro, de modo que su círculo permanece fijo. El ángulo con signo θ se mide desde el fondo. La velocidad tangencial inicial es cero; no hay empujón añadido ni amortiguación.

Con g = 9,81 m/s², θ̈ = sin θ (ω² cos θ − g/R). El umbral es ωc = √(g/R). Por debajo, el fondo es estable. En el umbral permanece estable por un mínimo de potencial cuártico, aunque su frecuencia de oscilación lineal es cero. Por encima, el fondo es inestable y las dos posiciones estables son θ* = ±acos(g/(ω²R)). La cima, mostrada a −180° y +180° en el gráfico de potencial, es un solo punto físico y siempre inestable. Partidas exactamente equilibradas en el fondo o la cima permanecen allí con velocidad inicial nula. Sin amortiguación, una cuenta desplazada no se asienta en un mínimo.

El potencial por unidad de masa es Ueff/m = gR(1 − cos θ) − ½ω²R²sin²θ, con cero en el fondo. La magnitud efectiva conservada es Eeff/m = ½R²θ̇² + Ueff/m. No es la energía mecánica inercial: el motor mantiene el giro impuesto. La deriva con signo mostrada es (Eeff(t)/m − Eeff(0)/m) / max(gR, ω²R²).

Los círculos rellenos y las ramas continuas marcan equilibrios estables; los huecos y las ramas discontinuas, inestables. Un rombo marca el punto crítico estable. El punto rojo es la cuenta actual. La línea de energía y la tabla de equilibrios relacionan su movimiento con los mínimos del potencial. El diagrama de bifurcación muestra las ramas del fondo; la cima, siempre inestable, se lista en la tabla y se marca en las otras dos vistas.

Las tres vistas y los valores iniciales aparecen al instante. Las entradas o el ejemplo recalculan el inicio pausado; Reiniciar conserva las entradas y vuelve al tiempo cero. Intro no inicia la reproducción. Iniciar continúa; un paso avanza 0,05 s. El experimento termina a los 60 s; Repetir reinicia el mismo modelo. Una página oculta o la navegación pausa. Recargar o volver recalcula un inicio nuevo. Solo se guardan los textos exactos, incluidas comas, ceros finales y entradas vacías o no válidas; no se guardan resultados, movimiento, cámara ni detalles desplegados. Se migran ajustes numéricos válidos y antiguos de tres partes. La reproducción suele seguir el tiempo real; cada cuadro largo avanza como máximo 0,05 s, por lo que puede ir más despacio en dispositivos ocupados.

Modelo: David Tong, Classical Dynamics, §2.5.1; comportamiento sin fricción y crítico en Dutta and Ray (2012). Aquí no se incluye el término de fricción de este último modelo.