Ising-Modell (2D & 3D)

Experiment

Heiße und kalte Zustände vergleichen, Temperatur T, Kopplung J oder Feld H ändern und die Domänen beobachten. Positives J bevorzugt gleiche Nachbarn, negatives J entgegengesetzte. Ein positives Feld bevorzugt +1, ein negatives −1. Der dreieckige Antiferromagnet ist frustriert: Um ein Dreieck lassen sich nicht alle drei Bindungen gleichzeitig erfüllen.

Modell und Gitter

E = −J Σ⟨ij⟩ sᵢsⱼ − H Σᵢ sᵢ mit sᵢ = ±1; jede Bindung zählt einmal. T, J und H verwenden eine feste Energieeinheit mit kB = 1. T wird nicht durch das veränderliche J geteilt. Die Ränder sind periodisch. Quadratisch: vier axiale Nachbarn. Dreieckig: sechs Nachbarn in drei gleich langen Richtungen, dargestellt in einer schiefen Zelle. Kubisch: sechs axiale Nachbarn. Kubisch + Diagonalen: sechs axiale und acht raumdiagonale Nachbarn, alle mit derselben Kopplung J. Letzteres ist ein erweitertes einfach-kubisches Modell.

Schritte und Reproduzierbarkeit

Ein Sweep umfasst N zufällige Einzelspin-Vorschläge mit Zurücklegen. ΔE = 2sᵢ(J Σⱼsⱼ + H). Bei ΔE ≤ 0 wird akzeptiert, sonst mit Wahrscheinlichkeit exp(−ΔE/T). Bei T = 0 werden positive ΔE abgelehnt und neutrale Schritte akzeptiert. Sweeps zählen Monte-Carlo-Schritte, keine physikalischen Sekunden. Ein fester Zufallsstartwert reproduziert Anfangsfeld und Schritte. Neustart stellt das Anfangsexperiment wieder her; Zurücksetzen leert das Ergebnis bei erhaltenen Eingaben. Die Wiedergabe verwendet Sweeps pro Sekunde unabhängig von der Bildrate und wird bei hoher Last langsamer. Verdeckte Werkzeuge und Tabs pausieren ohne Aufholen; reduzierte Bewegung startet pausiert.

Messwerte

m = Σsᵢ/N trägt ein Vorzeichen; |m| ist sein Betrag. Zeitmittel von m und |m| sind verschieden. Bei gerader Seitenlänge, bipartitem Gitter und J < 0 gewichtet die gestaffelte Magnetisierung jeden Spin mit (−1)^(x+y+z). Akzeptierte Schritte aktualisieren Gesamtmagnetisierung und Energie; auch abgelehnte Vorschläge zählen zur Monte-Carlo-Zeit. Stichproben beginnen nach dem eingestellten Anlauf im gewählten Sweep-Abstand. Änderungen an T, J, H oder Messparametern leeren die Mittelwerte und beginnen den Anlauf neu, ohne die Spins zu ersetzen. Messung neu starten bewirkt dasselbe. Die Akzeptanz zählt seit diesem Messneustart. Stichproben können korreliert bleiben; es gibt weder Konfidenzintervall noch automatischen Gleichgewichtsnachweis.

Kritische Referenzen und Grenzen

Für H = 0 und J > 0 im unendlichen Gitter gilt quadratisch T꜀ = 2J/ln(1+√2), dreieckig T꜀ = 4J/ln3. Kubisch beträgt die Schätzung T꜀ ≈ 4,5115J. Für das Gitter mit 14 Nachbarn gibt es keine kritische Vorlage. Endliche Gitter haben abgerundete Übergänge; die quadratische Magnetisierung springt nicht diskontinuierlich von null auf eins. Einzelspin-Schritte können nahe der kritischen Temperatur, bei tiefer Temperatur oder Frustration sehr langsam ins Gleichgewicht gelangen. Die endlichen Gitter dienen Experimenten, nicht der Schätzung kritischer Exponenten.

Quellen

Potoyan: Ising-Modell und Metropolis-Stichproben; Hinczewski & Berker: dreieckige kritische Temperatur; Butera & Comi: kubische kritische Kopplung.