Gravitative Zeitdilatation

Höhen ändern oder ein Erdbeispiel wählen: Der Zeitversatz aktualisiert sich sofort. Δτ ist B − A zur gewählten Zeit auf A; Δτ / d ist der Versatz nach 86400 Sekunden auf A. Positiv bedeutet, dass B vorausgeht. Die Beispiele berücksichtigen nur Gravitation.

Dieses Modell vergleicht zwei ruhende Uhren außerhalb einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Masse. Die gewählte Dauer T ist ausdrücklich die Eigenzeit der Referenzuhr A. Beide Uhrenwerte und ihre Differenz gehören zur selben Schwarzschild-Koordinatenzeit. Positives B − A bedeutet, dass B voraus ist; negatives B − A, dass B zurückliegt. Beide Uhren werden stationär gehalten, was im Allgemeinen Beschleunigung erfordert.

R₀ ist ein frei gewählter Referenzradius. Die Höhen hA und hB sind nichtnegative radiale Koordinatenabstände, keine Eigenabstände. Die Uhrenorte rA = R₀ + hA und rB = R₀ + hB sind Schwarzschild-Arealradien. Beide müssen strikt außerhalb von rs = 2GM/c² liegen. Ruhende Uhren am oder innerhalb des Horizonts sind ausgeschlossen. R₀ allein legt weder eine materielle Oberfläche noch eine innere Massenverteilung fest.

Raten und stabile Differenzen

Relativ zur Koordinatenzeit bei unendlich gilt fA = √((rA − rs)/rA) und fB = √((rB − rs)/rB). Das Uhrenratenverhältnis ist q = dτB/dτA = fB/fA. Bei Zeit τA gilt τB = qτA; die gemeinsame Koordinatenzeit ist t = τA/fA.

Der kleine Ratenunterschied wird stabil als deltaRate = [rs(hB − hA)/(rA rB)] / [fA(fA + fB)] ausgewertet. Die Differenz ist Δτ = deltaRate · τA. So werden weder fast gleiche Raten voneinander abgezogen noch q − 1 gebildet, wenn die Werte nahe eins runden. Ein Tag im Ratenergebnis bedeutet genau 86400 Sekunden auf A. Der Nanosekunden-Offset ist maßgeblich, wenn die großen absoluten Uhrenwerte auf dieselbe Ausgabe runden. Viele Ausgabestellen versprechen keine entsprechende Messgenauigkeit.

Die Schwachfeldreferenz lautet GM(hB − hA)/(c²rA rB), nahe der Erdoberfläche etwa gΔh/c². Gleiche Höhen und Masse null ergeben exakt keinen Offset. Vertauschen von A und B kehrt das Ratenverhältnis um; die angegebene Dauer bezieht sich dann auf die neu gewählte Uhr A.

Erdbeispiele

Die Presets verwenden R₀ = 6371000 m und M = 5,9722 × 10²⁴ kg, mit A bei hA = 0 und Dauer 86400 s auf A. Es gelten G = 6,67430 × 10⁻¹¹ in SI-Einheiten und c = 299792458 m/s. Die Masse wird in Vielfachen dieser Modell-Erdmasse eingegeben.

GPS-Höhe 20200000 m ergibt etwa +45724,426697 ns je Tag auf A; ISS-Höhe 420000 m ergibt +3719,806585 ns. Bei Berghöhe 4000 m ergeben sich +37,738497 ns. Eine Labor-Höhendifferenz von 0,33 m ergibt im Modell etwa +0,003115380601 ns je Tag. Die Höhenfelder behalten diese Eingaben unverändert.

GPS- und ISS-Presets beschreiben ausschließlich den Gravitationsanteil ruhender Uhren auf diesen Höhen. Für GPS werden häufig ungefähr +45 μs/Tag durch Gravitation genannt; die Bahnbewegung trägt etwa −7 μs/Tag bei, zusammen etwa +38 μs/Tag. Bewegung, Erdrotation, Abplattung und Geoid sind hier nicht enthalten. Das 33-cm-Experiment belegt den physikalischen Effekt; dieses einfache kugelsymmetrische Erdmodell bildet das lokale Experiment nicht mit dessen Messgenauigkeit nach.

Bedienung und Diagramm

Masse, Referenzradius und zusätzliche Messwerte stehen unter Optionen. Zurücksetzen stellt das Beispiel auf GPS-Höhe wieder her. Tauschen vertauscht die Höhen; Dauer und gewählte Zeit beziehen sich weiterhin auf A. Der Regler wählt eine Zeit in 0 ≤ τA ≤ T, ohne eingetippte Werte zu runden. Bei Nulldauer ist er deaktiviert. Eine Probe am bisherigen Endpunkt folgt einer geänderten Dauer; eine ausdrücklich gewählte Zwischenzeit bleibt bestehen. Beispielwahl und Zurücksetzen stellen die Probe auf die volle Dauer.

Die Linie zeigt den vorzeichenbehafteten, stabil berechneten Zeitversatz über die gewählte Dauer, mit einer Marke für die gewählte Zeit. Nulldauer ist ein Punkt; gleiche Raten ergeben eine waagerechte Nulllinie. Ungültige physikalische Eingaben verwerfen den Vergleich. Eine ungültige Probe leert ihre Werte und Marke; Kurve und Tagesrate bleiben sichtbar. Eingegebener Text samt unvollständigen Werten und statischer Zeitwahl bleibt bei Navigation, Neuladen und Sprachwechsel erhalten. Ergebnisse, Plots und offene Menüs werden nicht gespeichert.

Quellen

NIST: Putting Einstein to the Test; NIST: Uhrenexperiment von 2010; OIST: Allgemeine Relativitätstheorie, Vorlesung 8, Abschnitt VII; Princeton: stationäre Schwarzschild-Uhrenraten und Bewegungskorrektur.