Gravitative Zeitdilatation

Zwei ruhende Uhren

Dieses Modell vergleicht zwei ruhende Uhren außerhalb einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Masse. Die gewählte Dauer T ist ausdrücklich die Eigenzeit der Referenzuhr A. Beide Uhrenwerte und ihre Differenz gehören zur selben Schwarzschild-Koordinatenzeit. Positives B − A bedeutet, dass B voraus ist; negatives B − A, dass B zurückliegt. Beide Uhren werden stationär gehalten, was im Allgemeinen Beschleunigung erfordert.

R₀ ist ein frei gewählter Referenzradius. Die Höhen hA und hB sind nichtnegative radiale Koordinatenabstände, keine Eigenabstände. Die Uhrenorte rA = R₀ + hA und rB = R₀ + hB sind Schwarzschild-Arealradien. Beide müssen strikt außerhalb von rs = 2GM/c² liegen. Ruhende Uhren am oder innerhalb des Horizonts sind ausgeschlossen. R₀ allein legt weder eine materielle Oberfläche noch eine innere Massenverteilung fest.

Raten und stabile Differenzen

Relativ zur Koordinatenzeit bei unendlich gilt fA = √((rA − rs)/rA) und fB = √((rB − rs)/rB). Das Uhrenratenverhältnis ist q = dτB/dτA = fB/fA. Bei Zeit τA gilt τB = qτA; die gemeinsame Koordinatenzeit ist t = τA/fA.

Der kleine Ratenunterschied wird stabil als deltaRate = [rs(hB − hA)/(rA rB)] / [fA(fA + fB)] ausgewertet. Die Differenz ist Δτ = deltaRate · τA. So werden weder fast gleiche Raten voneinander abgezogen noch q − 1 gebildet, wenn die Werte nahe eins runden. Ein Tag im Ratenergebnis bedeutet genau 86400 Sekunden auf A. Der Nanosekunden-Offset ist maßgeblich, wenn die großen absoluten Uhrenwerte auf dieselbe Ausgabe runden. Viele Ausgabestellen versprechen keine entsprechende Messgenauigkeit.

Die Schwachfeldreferenz lautet GM(hB − hA)/(c²rA rB), nahe der Erdoberfläche etwa gΔh/c². Gleiche Höhen und Masse null ergeben exakt keinen Offset. Vertauschen von A und B kehrt das Ratenverhältnis um; die angegebene Dauer bezieht sich dann auf die neu gewählte Uhr A.

Erdbeispiele

Die Presets verwenden R₀ = 6371000 m und M = 5,9722 × 10²⁴ kg, mit A bei hA = 0 und Dauer 86400 s auf A. Es gelten G = 6,67430 × 10⁻¹¹ in SI-Einheiten und c = 299792458 m/s. Die Masse wird in Vielfachen dieser Modell-Erdmasse eingegeben.

GPS-Höhe 20200000 m ergibt etwa +45724,426697 ns je Tag auf A; ISS-Höhe 420000 m ergibt +3719,806585 ns. Bei Berghöhe 4000 m ergeben sich +37,738497 ns. Eine Labor-Höhendifferenz von 0,33 m ergibt im Modell etwa +0,003115380601 ns je Tag. Die Höhenfelder behalten diese Eingaben unverändert.

GPS- und ISS-Presets beschreiben ausschließlich den Gravitationsanteil ruhender Uhren auf diesen Höhen. Für GPS werden häufig ungefähr +45 μs/Tag durch Gravitation genannt; die Bahnbewegung trägt etwa −7 μs/Tag bei, zusammen etwa +38 μs/Tag. Bewegung, Erdrotation, Abplattung und Geoid sind hier nicht enthalten. Das 33-cm-Experiment belegt den physikalischen Effekt; dieses einfache kugelsymmetrische Erdmodell bildet das lokale Experiment nicht mit dessen Messgenauigkeit nach.

Bedienung und Diagramm

Die Masse reicht von 0 bis 10¹² Modell-Erdmassen, R₀ von 0,001 bis 10¹² m, jede Höhe von 0 bis 10¹² m und die Dauer von 0 bis 3155760000 s. Zusätzlich müssen beide Uhren außerhalb des Horizonts liegen. Presets ändern die Eingaben ohne Berechnung. Nach jeder Berechnung steht die Zeitprobe auf der vollen Dauer. Eine genaue Zeit eintippen oder den proportionalen Regler verwenden; der Regler dient der Navigation und rundet getippte Werte nicht. Bei Nulldauer ist er deaktiviert.

Die Linie zeigt den stabilen Offset ausschließlich für 0 ≤ τA ≤ T. Nulldauer erscheint als einzelner berechneter Punkt; bei Ratenunterschied null bleibt der Offset null. Achsen dürfen zur Lesbarkeit erweitert werden, ohne berechnete Zeiten außerhalb dieses Bereichs zu behaupten. Eine ungültige Zeit blendet Probenwerte und ihre Marke aus; die Gesamtkurve bleibt. Geänderte Haupteingaben verwerfen den Vergleich. Navigation bewahrt Ergebnis und Probe; Neuladen oder Sprachwechsel stellt gültige Einstellungen wieder her und wartet auf Berechnen.

Quellen

NIST: Putting Einstein to the Test; NIST: Uhrenexperiment von 2010; OIST: Allgemeine Relativitätstheorie, Vorlesung 8, Abschnitt VII; Princeton: stationäre Schwarzschild-Uhrenraten und Bewegungskorrektur.