Ehrenfest-Scheibe

Laborumfänge mit Messungen durch lokal mitrotierende Maßstäbe vergleichen.

Über dieses Tool

Laborradius R und Randgeschwindigkeit β=v(R)/c eingeben; gültige Werte aktualisieren den Vergleich sofort. Die exakte Radialsonde ρ=r/R und ihr Regler wählen vom Zentrum (0) zum Rand (1). Sie ändern die lokale Messung und erhalten die Vergleichskurven. Optionen enthält Beispiele und Weitere Messgrößen einschließlich Randvergleich. Zurücksetzen stellt R=1000 m, β=0,6 und ρ=1 wieder her. Ihre exakten Eingabetexte bleiben auch als unfertige Entwürfe erhalten; jeder Besuch berechnet einen frischen Vergleich. Ungültiges R/β entfernt alte Ergebnisse; eine ungültige Sonde blendet nur ihre Marker und Messwerte aus. Alle Beispiele nutzen R=1000 m. Die Laborscheibe behält ihren vorgegebenen Radius. Der Tangentialpfeil zeigt Bewegung gegen den Uhrzeigersinn; seine Länge ist schematisch.

Bedeutung der Messungen

Mit Labormaßstäben gilt C_L(r) = 2πr. Tangential mitrotierende Maßstäbe erscheinen im Labor verkürzt. Daher passen mehr ihrer lokalen Längeneinheiten entlang desselben Laborkreises. Die Summe der lokal gemessenen Längen ist C_M(r) = 2πrγ(r) und bei einer von null verschiedenen lokalen Geschwindigkeit größer. Radiale Maßstäbe liegen quer zur Bewegung; die radiale Länge vom Zentrum zum Rand bleibt R.

Die lokale räumliche Messvorschrift lautet dl² = dr² + γ(r)²r²dφ² bei konstantem z. Die Integration des tangentialen Anteils entlang eines Kreises ergibt C_M. Diese lokale mitrotierende Messung definiert keine global Einstein-synchronisierte Momentaufnahme des rotierenden Systems. Sie bettet keine verzogene materielle Scheibe in den Laborraum ein; die zugrunde liegende Minkowski-Raumzeit bleibt flach.

Formeln und Beispiel

Mit c = 299792458 m/s gelten ω = βc/R, v(r) = βcρ und γ(r) = 1/√[1 − (βρ)²]. Der Mehrumfang ist ΔC = C_L(γ − 1). Die Kurven zeigen C_L/(2πR) = ρ und C_M/(2πR) = ργ(r). Das tangentiale Maßstabsverhältnis L_lab/L₀ beträgt 1/γ.

Bei Rand-β = 0,6 ist γ = 1,25: Die Summe lokal mitrotierend gemessener Längen ist 25 % größer als der Laborumfang. Für R = 1000 m gelten C_L ≈ 6283,185307 m und C_M ≈ 7853,981634 m. In Ruhe ist γ = 1 und beide Kurven fallen zusammen. Im Zentrum sind beide Umfänge, Geschwindigkeit und Mehrumfang exakt null; C_M/(2r) ist dort undefiniert. Für r > 0 ist dieses Verhältnis πγ.

Geltungsbereich und Bedienung

Betrachtet wird stationäre Rotation bei vorgegebenem Laborradius, mit R von 0,01 bis 1000000 m und Rand-β von 0 bis 0,99. Die Obergrenze 0,99 ist der Darstellungsbereich dieses Werkzeugs, keine universelle physikalische Grenze. Eingaben werden nicht still begrenzt.

Das Modell beschreibt weder das Hochfahren einer materiellen Scheibe noch elastische Verformung, Spannungen oder Materialgrenzen. Ein Born-starres Beschleunigen aus Ruhe wird nicht behauptet. Die Scheibe hat keine Lücken und ihr vorgegebener Laborradius schrumpft nicht. Der größere Umfang entsteht hier aus einer anderen räumlichen Messvorschrift.

Quellen