Gekoppelte Pendel

Normalmoden und Energieaustausch zwischen zwei oder drei Pendeln im Kleinwinkelmodell untersuchen.

Über dieses Tool

Normalmoden und Energieaustausch einer Kette aus zwei oder drei gleichen Pendeln vergleichen. Eine reine Mode zeigt eine Frequenz; die Auslenkung nur des ersten Pendels regt mehrere Moden an.

Modell und Eingaben

Jeder Pendelkörper hat die Masse m = 1 kg und die Fadenlänge L = 1,2 m. Benachbarte Aufhängungen liegen 0,9 m auseinander, die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s². Federn verbinden nur benachbarte Pendelkörper; die Kettenenden sind frei und besitzen keine Wandfedern. k ist eine physische Federkonstante in N/m von 0 bis 5. Die Anfangsamplitude liegt zwischen 0 und 0,2 rad, die Dauer zwischen 1 und 60 s.

Das Modell ist ungedämpft, eben und auf kleine Winkel beschränkt. Die Federdehnung wird als L(θᵢ₊₁ − θᵢ) angenähert, die Gravitation in θ linearisiert. Äußere Anregung, Dämpfung, Großwinkeldynamik und Bewegung aus der Ebene sind nicht enthalten. Die Zeichnung setzt jeden Pendelkörper auf (Aufhängung + L sin θ, −L cos θ), sodass alle Fäden ihre echte Länge L haben; diese geometrische Darstellung ändert die linearisierte Dynamik nicht.

Anfangsauslenkung

Alle Pendel starten mit Winkelgeschwindigkeit null. Nur Pendel 1 lenkt ausschließlich den ersten Körper aus. Jedes Modenbeispiel wählt eine reine Eigenform, deren größter anfänglicher Winkelbetrag der eingestellten Amplitude entspricht. Mode 3 steht nur für drei Pendel bereit. Bei k = 0 sind die Pendel unabhängig; ein anfangs nicht angeregtes Pendel bleibt exakt in Ruhe. Nullamplitude lässt die gesamte Kette ruhen.

Die Voreinstellung verwendet zwei Pendel, eine Auslenkung des ersten Körpers um 0,15 rad, k = 0,8 N/m und ein Fenster von 30 s. Der Vergleich ihrer Energiekurven zeigt den Energieaustausch. Ein Maximum der Schwebungshüllkurve allein belegt keine vollständige Energieübertragung.

Bedienung

Pendelvorschau, aktuelle Werte und Normalmoden aktualisieren sich sofort. Nur das erste Pendel auslenken, um Energieaustausch zu beobachten, oder eine reine Mode wählen. Abspielen startet die gemeinsame Echtzeituhr; Pause hält sie an. Zeitfeld und Schieber zeigen in jeder Ansicht dieselbe analytische Lösung. Die Winkel- und Energietabs erzeugen ihre vollständigen abgetasteten Kurven erst beim Öffnen; danach bleiben die Kurven beim Verschieben der Zeitmarke bestehen. Ungültige Zeitangaben blenden aktuelle Marker und Werte aus, ohne eine vorbereitete Kurve zu ändern. Eine Parameteränderung stoppt die alte Wiedergabe und bereitet eine neue ruhende Vorschau vor. Zurücksetzen behält die Parameter und setzt die Zeit auf null.

Werte und Moden zeigt aktuelle Winkel, Winkelgeschwindigkeiten und Modenfrequenzen; Energieanteile enthält die Energiebilanz. Gespeichert werden nur rohe Parameter, Pendelzahl und Anfangsauslenkung, auch unvollständige oder ungültige Eingaben. Neuladen oder Rückkehr startet die ruhende Pendelvorschau, ohne verstrichene Zeit, Kurven, Ansichts- oder Detailzustand und berechnete Versuche wiederherzustellen.

Normalmoden

Die lineare Gleichung lautet θ̈ = −Aθ mit A = (g/L)I + (k/m)D; D ist der freie Ketten-Laplacian. Für zwei Pendel sind die Eigenwerte μ = 0, 2 und die Formen (1, 1), (1, −1). Für drei sind es μ = 0, 1, 3 und (1, 1, 1), (1, 0, −1), (1, −2, 1). Die Formtabelle zeigt relative Amplituden; die Berechnung verwendet orthonormalisierte Vektoren eⱼ.

Für jede Kreisfrequenz gilt Ωⱼ² = g/L + (k/m)μⱼ mit fⱼ = Ωⱼ/(2π) in Hz. Die anfängliche Modenkoordinate ist qⱼ(0) = eⱼ · θ(0), und θ(t) = Σeⱼqⱼ(0)cos(Ωⱼt). Die Winkelgeschwindigkeiten folgen durch analytische Zeitableitung. Reine Modenbeispiele setzen alle übrigen Modenkoeffizienten auf null. Ohne Kopplung stimmen alle Modenfrequenzen überein.

Energie

Die kinetische Energie ist T = ½mL²Σθ̇ᵢ², die Gravitationsenergie Ug = ½mgLΣθᵢ² und die Federenergie Uk = ½kL²Σ(θᵢ₊₁ − θᵢ)². Die Gesamtenergie E = T + Ug + Uk bleibt im Modell erhalten. Der Energieplot zeigt die jedem Pendel zugeordnete Energie und die Gesamtenergie in Joule.

Die zugeordnete Einzelpendel-Energie enthält dessen kinetische und Gravitationsenergie sowie die Hälfte der Energie jeder angrenzenden Feder. Diese gleichmäßige Aufteilung ist eine Konvention zur Darstellung des lokalen Energieaustauschs; die Summe der zugeordneten Energien ergibt die Gesamtenergie. Energieanteile aufklappen, um T, Ug, Uk und E zur aktuellen Zeit abzulesen.

Numerik und Quellen

Die Lösung wird analytisch aus den Normalmoden ausgewertet. Zwischen benachbarten Plotpunkten liegen höchstens 0,04 rad der schnellsten Modenphase, insgesamt höchstens 7223 Punkte. Die Zeitsonde wird unabhängig von diesen Punkten berechnet. Angezeigte Werte sind gerundet; kleine Ergebnisse ungleich null erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise.