Coriolis-Karussell

Denselben freien Puck im ruhenden Laborsystem und im Bezugssystem einer rotierenden, reibungsfreien horizontalen Plattform vergleichen. Im Labor verläuft die Bahn gerade; ihre Krümmung in der rotierenden Ansicht entsteht durch das wechselnde Bezugssystem.

Startbedingungen

Konstante Winkelgeschwindigkeit ω von −4 bis 4 rad/s, Anfangstempo v₀ von 0 bis 6 m/s, Wurfwinkel α von −180 bis 180° und Startradius r₀ von 0 bis 1,2 m einstellen. Nullwerte sind gültig. Der Plattformradius beträgt 1,45 m. Alle Berechnungen laufen im Browser.

Beim Loslassen zur Zeit t = 0 sind beide Koordinatensysteme gleich ausgerichtet; der Puck startet bei (r₀, 0). Von oben gesehen bedeutet positives ω eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Das Anfangstempo v₀ gilt relativ zur Plattform. Der Winkel α wird gegen den Uhrzeigersinn von der nach außen gerichteten +x-Radialrichtung gemessen: 0° zeigt nach außen, 90° tangential gegen den Uhrzeigersinn und −90° tangential im Uhrzeigersinn.

Bedienung

Beide vollständigen Bahnen und ihre ruhende Vorschau aktualisieren sich sofort mit den Startbedingungen. Abspielen startet die gemeinsame Uhr; Pause hält sie an. Animation ändert das Wiedergabetempo, ohne die physikalischen Ergebnisse zu ändern. Zeitfeld und Schieber wählen denselben Zeitpunkt in beiden Ansichten. Der Tooltip der Zeitleiste nennt Endzeit und Abbruchbedingung. Ungültige Zeitangaben blenden aktuelle Marker und Werte aus, ohne die Bahnen zu ändern. Zurücksetzen behält die Startbedingungen und setzt die Zeit auf null.

Eine Änderung der Startbedingungen stoppt die alte Animation und bereitet einen neuen Vergleich vor. Unvollständige oder ungültige Eingaben bleiben gespeichert; alte Ergebnisse werden ausgeblendet. Gespeichert werden nur die rohen Startbedingungen, das gewählte Beispiel und das Animationstempo. Neuladen oder Rückkehr zum Tool bereitet einen neuen ruhenden Vergleich vor. Bahn, verstrichene Zeit, Komponentendetails und Wiedergabe werden nicht wiederhergestellt. Ausblenden pausiert ohne Nachholen vergangener Echtzeit.

Beispiele

• Radial nach außen verwendet ω = 1,2 rad/s, v₀ = 2,5 m/s, α = 0° und r₀ = 0,6 m. Ein Vorzeichenwechsel von ω spiegelt bei diesem radialen Beispiel die y-Komponenten.
• Bei stillstehender Plattform ist ω = 0; beide Ansichten stimmen exakt überein.
• Mitbewegtes Loslassen setzt v₀ = 0. Der Puck behält die tangentiale Laborgeschwindigkeit ωr₀ der Plattform; ein Relativtempo von null bedeutet normalerweise keine Ruhe im Labor.
• Im Labor ruhend verwendet ω = 1,2 rad/s, v₀ = 0,72 m/s, α = −90° und r₀ = 0,6 m. Der Wurf kompensiert die tangentiale Plattformgeschwindigkeit.
• Wurf aus dem Zentrum setzt r₀ = 0; damit entfällt die anfängliche tangentiale Plattformgeschwindigkeit.

Positionen und Geschwindigkeiten

I bezeichnet Labor-, R rotierende Koordinaten und J(x, y) = (−y, x). Die Laborgeschwindigkeit lautet vᴵ = (v₀ cos α, v₀ sin α + ωr₀), die Position rᴵ(t) = (r₀, 0) + vᴵt. Die Drehung ins bewegte System ergibt rᴿ = R(−ωt)rᴵ, wobei R die übliche Drehmatrix gegen den Uhrzeigersinn ist. Somit gelten xᴿ = cos(ωt)xᴵ + sin(ωt)yᴵ und yᴿ = −sin(ωt)xᴵ + cos(ωt)yᴵ.

Die momentane Geschwindigkeit im rotierenden System ist vᴿ = R(−ωt)vᴵ − ωJrᴿ. Die Coriolisbeschleunigung lautet aCor = −2ωJvᴿ, die Zentrifugalbeschleunigung aCent = ω²rᴿ und die gesamte rotierende Beschleunigung aᴿ = aCor + aCent. Der Coriolisterm verwendet die aktuelle Geschwindigkeit im rotierenden System, kein festes Anfangstempo. Diese Beschleunigungen entstehen durch die rotierenden Koordinaten; auf den Puck wirkt im Labor keine horizontale äußere Kraft.

Die aufgeklappten Komponentendetails zeigen Positionen, Geschwindigkeiten und beide Beschleunigungsanteile. Beide Diagramme verwenden denselben Maßstab mit x und y in Metern sowie Koordinatengrenzen von ±1,65 m. Im Labor drehen sich Speichen und Startmarke für positives ω gegen den Uhrzeigersinn; im mitrotierenden Bild bleiben sie fest.

Bahnende

Beide Bahnen enden beim ersten Kontakt mit dem Plattformrand bei 1,45 m oder nach einem Beobachtungsfenster von 5 s, falls vorher kein Kontakt stattfindet. Die Randzeit folgt analytisch aus dem Schnitt der geraden Laborbahn mit dem Kreis. Ein im Labor ruhender Puck hat kein Randkontaktereignis. Das Modell setzt weder eine Kollision noch einen Fall über den Rand hinaus fort.

Die Bahnen werden aus analytischen Positionen mit mindestens 100 Intervallen und höchstens 0,02 rad Plattformdrehung pro Intervall aufgebaut. Jede enthält höchstens 1001 Punkte. Die Zeitsonde wird separat ausgewertet und ist nicht auf diese gespeicherten Punkte beschränkt. Angezeigte Zahlen sind gerundet; kleine Werte ungleich null erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise.

Annahmen und Quelle

Die Plattform ist horizontal und reibungsfrei, die Winkelgeschwindigkeit konstant. Auf den Puck wirkt keine horizontale äußere Kraft. Reibung, Erdrotation, vertikale Ballistik und Änderungen der Winkelgeschwindigkeit sind nicht Teil des Modells.

Douglas Cline, §12.8 Coriolis Force, Gleichungen 12.41 und 12.42 sowie das Beispiel des freien Pucks, liefert die Beschleunigungsbeziehungen im rotierenden System. Koordinatenlösung, Umrechnung der Anfangsgeschwindigkeit und endliche Bahngrenzen wurden für dieses Tool hergeleitet.