Kettenlinie und Parabel

Dieser statische Vergleich betrachtet zwei ideal flexible Seile zwischen gleich hohen Auflagern. Die horizontale Koordinate ist x ∈ [−s,s]; die ganze Spannweite beträgt daher 2s. Beide Kurven haben denselben Durchhang f. Eingaben sind a = 0,4–4 m, die halbe Spannweite s = 1–6 m und das Kettengewicht w = 1–40 N/m Seil. Das Modell enthält weder Dehnung noch Biegesteifigkeit, Festigkeitsprüfung oder eine Kombination aus Eigengewicht und Fahrbahnlast.

Mit S = s/a ist der Durchhang f = a(cosh S−1) = 2a sinh²(S/2). Die Tiefe zählt ab den Auflagern positiv nach unten: y꜀(x) = a[cosh S−cosh(x/a)] und yₚ(x) = f[1−(x/s)²]. Beide Werte sind bei x = ±s exakt null und bei x = 0 gleich f. Die Grafik verwendet x/s und Tiefe/f, damit kleine und große Durchhänge lesbar bleiben. Horizontaler und vertikaler Metermaßstab sind dabei verschieden. Physikalische Spannweite, Durchhang und Längen stehen zusätzlich als Zahlen bereit.

Die Kettenlinie trägt ein konstantes Gewicht w je Seilmeter; ihr Gesamtgewicht ist G = wL꜀. Für den ausdrücklich gewählten Vergleich bei gleichem Gesamtgewicht trägt die Parabel die konstante Last q = G/(2s) je horizontalem Meter. Beide Seile haben damit nicht dasselbe Gewicht je Seilmeter. Ihre horizontalen Zugkräfte sind H꜀ = wa und Hₚ = qs²/(2f). Die vertikale Kraft je Auflager beträgt G/2. Die größten Zugkräfte sind T꜀ = √(H꜀²+(G/2)²) und Tₚ = √(Hₚ²+(G/2)²). Entlang der Seile ergeben sich √(H꜀²+[wa sinh(x/a)]²) und √(Hₚ²+(qx)²).

Die zuschaltbaren Pfeile nach unten zeigen Last je horizontalem Meter: q꜀(x) = w cosh(x/a) und qₚ(x) = q. Ihre Schaftlängen verwenden denselben linearen Maßstab; ein Bezugspfeil nennt den zugehörigen Wert in N/m. Bei Anzeige beider Lasten liegen die Pfeile an versetzten horizontalen Stellen, damit sie unterscheidbar bleiben. Eine Pfeillänge ist ein Lastsymbol, keine physikalische Verschiebung. Kurvenauswahl und Lastanzeige verändern die Rechnung nicht.

Die Längen werden analytisch berechnet: L꜀ = 2a sinh(s/a). Für k = 2f/s gilt Lₚ = s[√(1+k²) + asinh(k)/k]. Der nichtnegative Abstand Δ(x) = y꜀(x)−yₚ(x) ist an Auflagern und Mitte null. Er hat gleiche Maxima bei ±x*, wobei z = x*/a die eindeutige positive Lösung von sinh(z)/z = 2(cosh S−1)/S² innerhalb (0,S) ist. Das ausgewiesene Maximum folgt aus dieser inneren Lösung, nicht aus dem Zeichenraster. Der relative Abstand beträgt Δmax/f; die separate Abstandskurve bleibt in Metern. Die markierten Strecken der gemeinsamen Formansicht zeigen dieselben Stellen.

Berechnen erstellt ein statisches Ergebnis. Änderungen an a, s oder w löschen alte Ergebnisse; Zurücksetzen erhält die Felder. Bei der Rückkehr innerhalb der App bleiben Ergebnis und Ansichtsoptionen erhalten. Vollständiges Neuladen übernimmt nur gültige Zahleneingaben und erfordert erneutes Berechnen.

Quellen: University of Cambridge, From parabolas to catenaries: Lösung leitet Kettenlinie, Kräftegleichgewicht und Bogenlänge her; die Seite ist als Entwurf gekennzeichnet. NPTEL / IIT Kharagpur, Cables, Lektion 31 §31.3 leitet Parabel und Zugkräfte für gleichmäßige horizontale Last her. Gleiches Gesamtgewicht, Zahlenbereiche und normierte Darstellung sind Entscheidungen dieses Tools.