Brownsche Bewegung

Zweidimensionale Diffusion

Alle N Bahnen beginnen im Ursprung. Jeder Zeitschritt addiert zu x und y unabhängige Gaußinkremente mit Mittelwert null und Varianz 2DΔt je Achse. D wird in µm²/s angegeben, Orte in µm und quadrierte Verschiebungen in µm². Das Zeitraster lautet t_j=jT/Schritte, einschließlich exakt 0 und T; Δt=T/Schritte. D=0 ist ein gültiger ruhender Fall.

Das Modell enthält keine Wände, Kollisionen, Trägheit oder Strömung. Es beschreibt Diffusion und löst keine einzelnen Molekülstöße zeitlich auf. D wird eingegeben und nicht aus Teilchenradius, Viskosität oder Temperatur geschätzt.

Ensemble und Einzelbahn

Für jeden Zeitpunkt ist Ensemble-MSD=Σ(x_i²+y_i²)/N. Für eine gewählte Bahn ist r²=x²+y² die quadrierte Verschiebung vom Ursprung. Gemeint sind weder zurückgelegte Weglänge noch zeitgemittelte MSD. Für die angenommenen unabhängigen Gaußinkremente beträgt der theoretische Ensemble-Erwartungswert 4Dt, als Summe der beiden Koordinatenvarianzen. Ein endlicher Lauf schwankt um diesen Erwartungswert; weder Ensemblekurve noch Einzelbahn müssen in jedem Schritt steigen.

Wolke und hervorgehobene Bahn zeigen den gewählten Rasterzeitpunkt. Die Achsen behalten die Grenzen des ganzen Laufs und denselben x/y-Maßstab. Bei fehlender Bewegung nutzt die Wolke ±1 µm als Bezugsbereich entlang der kleineren Plotdimension. Das Statistikdiagramm zeigt den ganzen berechneten Lauf einschließlich r² der gewählten Bahn sowie einen gemeinsamen Cursor. Farben und Strichmuster unterscheiden die Kurven.

Reproduzierbarer Lauf, getrennte Wiedergabe

Zulässig sind D von 0 bis 100 µm²/s, T von 0,5 bis 5 s, 1 bis 400 Bahnen und 20 bis 500 Schritte. Der Seed ist ganzzahlig von 0 bis 2³²−1. Ein deterministischer LCG verwendet state=(1664525·state+1013904223) modulo 2³² und u=(state+0,5)/2³². Zwei aufeinanderfolgende u-Werte bilden ein Box–Muller-Paar. Die Ziehungsreihenfolge ist Zeitschritt, dann Bahn, dann Radius und Winkel. Der Seed dient reproduzierbaren Lehrbeispielen, nicht der Kryptografie. Dieselbe vollständige Konfiguration ergibt denselben Lauf; eine andere Bahnzahl ändert die Zuordnung späterer Zufallsziehungen.

Simulieren erzeugt den begrenzten Lauf ausdrücklich in abbrechbaren Portionen und pausiert am letzten Rasterpunkt. Wiederholen beginnt bei null; danach bewegt die Wiedergabe nur gespeicherte Stichproben, ohne neue Zufallszahlen. Ein Schritt erhöht den Rasterindex um eins. Cursor, Bahnwahl und Fit greifen auf denselben Lauf zu. Ein langer Wiedergabeframe erhöht die Zeit um höchstens 0,25 s. Ausblenden pausiert die Wiedergabe und bricht eine noch laufende Erzeugung ab; bei Rückkehr wird keine verstrichene Echtzeit nachgeholt.

Fit mit Achsenabschnitt

Der erste Fit verwendet die ganze Ensemblezeitreihe. Von und Bis wählen ein geschlossenes Intervall mit 0≤Von<Bis≤T und mindestens zwei eingeschlossenen Rasterzeiten. Eine winzige Randtoleranz von höchstens 4·Number.EPSILON·max(|t|,|Von|,|Bis|,1) Sekunden gleicht nur die Zahlendarstellung aus; sie rundet das Intervall nicht auf ganze Schritte. Angezeigt werden die tatsächlichen ersten und letzten Rasterzeiten und die Punktzahl.

Die gewöhnliche kleinste-Quadrate-Regression passt MSD=m·t+b mit zentrierten Summen an: m=Σ(t−t̄)(MSD−MSD̄)/Σ(t−t̄)² und b=MSD̄−mt̄. Daraus folgt D_fit=m/4. Der Achsenabschnitt wird nicht auf null festgelegt; die Gerade erscheint nur zwischen den verwendeten Rasterzeiten. Bearbeiten des Intervalls entfernt den alten Fit bis zum erneuten Fitten.

Kurze oder schwankende Intervalle können eine negative Steigung und ein negatives D_fit ergeben. Diese Schätzung bleibt sichtbar und bedeutet keine physikalisch negative Diffusivität. MSD-Werte verschiedener Zeiten sind korreliert; deshalb wird kein gewöhnliches Konfidenzintervall mit unabhängig angenommenen Residuen ausgegeben.

Zustand und Quellen

Eine Änderung der Modellparameter entwertet den alten Lauf. Zurücksetzen behält die Felder. Bei Rückkehr innerhalb derselben Seitensitzung bleiben Lauf, Cursor, Bahnwahl und Fit erhalten; die Wiedergabe ist pausiert. Nach Neuladen werden nur gültige Modellparameter wiederhergestellt; Simulieren ist erneut nötig. Berechnungen und gespeicherte Bahnen bleiben im Browser.

MIT/Bazant, Vorlesung 20, Seite 2 beschreibt das Gaußinkrementmodell und seine Grenzen. Der 2D-Erwartungswert 4Dt folgt hier durch Addition der unabhängigen Koordinatenvarianzen. NIST: kleinste Quadrate gibt die Formeln für Steigung und Achsenabschnitt an.