Brachistochronen-Vergleich

Ein Start, drei Bahnen

Verglichen wird je eine reibungsfreie Punktmasse, die bei A=(0,0) auf einer festen, geführten Bahn aus Ruhe startet. Die Koordinate y zeigt nach unten. B=(πH/2,H) ist für alle Bahnen derselbe Endpunkt. Die Fallbeschleunigung beträgt konstant g=9,81 m/s². Energieerhaltung ergibt v=√(2gy); die Masse kürzt sich heraus. Gemeint ist eine Punktmasse mit beidseitiger Führung, keine rollende Kugel und keine Kontaktkraftberechnung für eine einseitige Rampe.

Zykloide und Gerade

Die halbe Zykloide lautet x=(H/2)(θ−sinθ), y=(H/2)(1−cosθ) mit 0≤θ≤π. Ihre Fallzeit ist T_c=π√(H/(2g)). Der Winkel wächst linear mit der Zeit, obwohl das Teilchen mit Geschwindigkeit null startet. Für diese Endpunkte ist die Zykloide die Brachistochrone, also die zeitlich kürzeste Bahn.

Mit X=πH/2 und D=√(X²+H²) beträgt die Fallzeit auf der Geraden T_s=D√(2/(gH)); der Ortsanteil auf ihr ist (t/T_s)². Die angegebene Mehrzeit ist 100(T/T_c−1) mit der Zykloide als Bezug.

Ein echter Kreis

Ein Kreis kann A und B nur verbinden, wenn R≥D/2 gilt. Eingaben werden nicht still vergrößert. Setze h=√(R²−D²/4), C_x=X/2+hH/D, C_y=H/2−hX/D und α=2atan2(D/2,h). Der gewählte kleinere Bogen um C lautet: x=C_x(1−cosu)−C_ysinu und y=C_xsinu+C_y(1−cosu), mit 0≤u≤α. Er beginnt nach unten und hat tatsächlich Radius R.

Dieser Bogen darf zunächst links von A laufen oder unter B fallen und wieder ansteigen. Das sind zulässige Bahnformen; die Zeichnung umfasst den ganzen Bogen bei gleichem x/y-Maßstab. Die Kreisfallzeit ist das Integral von R du/√(2gy(u)). Die Ersetzung u=αq² beseitigt die Singularität beim Start. Kontrollierte Quadratur und eine monotone Zeitinterpolation liefern die Teilchenposition ohne künstliche Anfangsgeschwindigkeit.

Bedienung und Bedeutung

H erlaubt Werte von 0,8 bis 4 m. R muss positiv, höchstens 6 m und mindestens halb so groß wie der Abstand AB sein. Kurven und Fallzeiten aktualisieren sich sofort. Start beginnt das Rennen; Schritt erhöht die gemeinsame Zeit um 0,04 s. Zurücksetzen bringt alle Teilchen nach A und behält die Eingaben. Eine Änderung stoppt das alte Rennen. Ungültige oder unvollständige Eingaben bleiben gespeichert, zeigen aber kein altes Ergebnis. Neuladen oder Rückkehr zum Tool bereitet einen neuen ruhenden Vergleich vor.

Marker bleiben nach der Ankunft bei B; die angezeigte Geschwindigkeit ist die Ankunftsgeschwindigkeit, ohne Stopp- oder Stoßmodell. Zeitanteil bedeutet verstrichene Zeit geteilt durch die jeweilige Fallzeit, keinen Weganteil. Ausblenden pausiert die Wiedergabe; bei Rückkehr wird keine Echtzeit nachgeholt. Ein langer Darstellungsframe erhöht die Modellzeit um höchstens 0,25 s. Wiederholen startet dasselbe Rennen erneut.

Quellen

Rutgers: das Brachistochronenproblem verwendet eine normierte Gravitationskonvention; dieses Tool nutzt das oben angegebene physikalische g. Siehe auch Liberzon: die Brachistochrone.