Brachistochronen-Vergleich

Ein Start, drei Bahnen

Verglichen wird je eine reibungsfreie Punktmasse, die bei A=(0,0) auf einer festen, geführten Bahn aus Ruhe startet. Die Koordinate y zeigt nach unten. B=(πH/2,H) ist für alle Bahnen derselbe Endpunkt. Die Fallbeschleunigung beträgt konstant g=9,81 m/s². Energieerhaltung ergibt v=√(2gy); die Masse kürzt sich heraus. Gemeint ist eine Punktmasse mit beidseitiger Führung, keine rollende Kugel und keine Kontaktkraftberechnung für eine einseitige Rampe.

Zykloide und Gerade

Die halbe Zykloide lautet x=(H/2)(θ−sinθ), y=(H/2)(1−cosθ) mit 0≤θ≤π. Ihre Fallzeit ist T_c=π√(H/(2g)). Der Winkel wächst linear mit der Zeit, obwohl das Teilchen mit Geschwindigkeit null startet. Für diese Endpunkte ist die Zykloide die Brachistochrone, also die zeitlich kürzeste Bahn.

Mit X=πH/2 und D=√(X²+H²) beträgt die Fallzeit auf der Geraden T_s=D√(2/(gH)); der Ortsanteil auf ihr ist (t/T_s)². Die angegebene Mehrzeit ist 100(T/T_c−1) mit der Zykloide als Bezug.

Ein echter Kreis

Ein Kreis kann A und B nur verbinden, wenn R≥D/2 gilt. Eingaben werden nicht still vergrößert. Setze h=√(R²−D²/4), C_x=X/2+hH/D, C_y=H/2−hX/D und α=2atan2(D/2,h). Der gewählte kleinere Bogen um C lautet: x=C_x(1−cosu)−C_ysinu und y=C_xsinu+C_y(1−cosu), mit 0≤u≤α. Er beginnt nach unten und hat tatsächlich Radius R.

Dieser Bogen darf zunächst links von A laufen oder unter B fallen und wieder ansteigen. Das sind zulässige Bahnformen; die Zeichnung umfasst den ganzen Bogen bei gleichem x/y-Maßstab. Die Kreisfallzeit ist das Integral von R du/√(2gy(u)). Die Ersetzung u=αq² beseitigt die Singularität beim Start. Kontrollierte Quadratur und eine monotone Zeitinterpolation liefern die Teilchenposition ohne künstliche Anfangsgeschwindigkeit.

Bedienung und Bedeutung

H erlaubt kontinuierliche Werte von 0,8 bis 4 m. R ist positiv, höchstens 6 m und muss die Endpunktbedingung erfüllen. Berechnen bereitet den Vergleich pausiert vor. Start bewegt die gemeinsame Modellzeit; Schritt erhöht sie um 0,04 s. Jeder Marker bleibt nach seiner Fallzeit bei B. Die Tabelle zeigt dort die Ankunftsgeschwindigkeit, ohne einen Stopp oder Stoß zu modellieren. Zeit (%) ist der Anteil an der jeweiligen Fallzeit, kein Weganteil.

Eine Eingabeänderung entfernt das bisherige Ergebnis. Zurücksetzen behält die Eingaben. Ausblenden oder Verlassen pausiert die Wiedergabe; beim Zurückkehren wird keine verstrichene Echtzeit nachgeholt. Ein langer Darstellungsframe erhöht die Modellzeit um höchstens 0,25 s. Bei Rückkehr innerhalb derselben Seitensitzung bleibt ein berechnetes Ergebnis pausiert erhalten. Nach Neuladen werden nur gültige Eingaben wiederhergestellt; Berechnen ist erneut nötig.

Quellen

Rutgers: das Brachistochronenproblem verwendet eine normierte Gravitationskonvention; dieses Tool nutzt das oben angegebene physikalische g. Siehe auch Liberzon: die Brachistochrone.