Bells Raumschiff-Paradoxon

Zwei Schiffe ruhen anfangs im Labor mit Abstand L₀. Sie starten dort gleichzeitig und durchlaufen identische Verläufe konstanter Eigenbeschleunigung a, gemessen mit ihren eigenen Beschleunigungsmessern. Bei der Zielgeschwindigkeit βc schalten beide Triebwerke im Labor gleichzeitig ab. Der Rechner vergleicht das danach gemeinsame inertiale Endruhesystem mit dem Labor; die lange Beschleunigungsphase wird nicht in Echtzeit animiert.

Im Labor bleibt der Abstand Llab = L₀. Nach beiden Brennschlüssen beträgt der gleichzeitig im gemeinsamen Ruhesystem gemessene Abstand Lrest = γL₀ mit γ = 1/√(1−β²). Die geometrische Zunahme ist (γ−1)L₀, die erforderliche relative Verlängerung 100(γ−1)%. Dies ist eine Messung in der gemeinsamen inertialen Endphase, keine universelle Definition eines Eigenabstands während der Beschleunigung.

A ist der Brennschluss des hinteren Schiffs und der Koordinatenursprung. B ist der vordere Brennschluss; A und B haben dieselbe Laborzeit. In mit L₀ normierten Endruhekoordinaten gilt A = (x′/L₀, ct′/L₀) = (0,0), B = (γ,−γβ). C = (γ,0) liegt auf der anschließenden inertialen Weltlinie des vorderen Schiffs und ist im Endruhesystem gleichzeitig mit A. A–B und A–C verwenden somit unterschiedliche Gleichzeitigkeit. Bei β = 0 fallen B und C zusammen. Die gezeichneten inertialen Weltlinien verlaufen nur ab dem jeweiligen Brennschluss nach oben; sie werden nicht geradlinig in die Beschleunigungsphase verlängert.

Für jedes Schiff gelten Labor-Brenndauer t = cγβ/a, verstrichene Bord-Eigenzeit τ = c atanh(β)/a und Flugweg ab Start d = c²(γ−1)/a mit c = 299792458 m/s. Die Brennschluss-Zeitdifferenz im Endruhesystem lautet t′B−t′A = −γβL₀/c. Diese Dauern und der gesamte Flugweg stehen separat; Ereignistabellen und Diagramm verwenden Koordinaten relativ zu A.

Der eingegebene Prozentwert ist eine angenommene Dehngrenze. Verglichen wird nur die erforderliche geometrische Verlängerung. Zugkraft, Spannung, Elastizität, Materialversagen und Bruchzeit werden nicht berechnet. „An der Grenze“ umfasst lediglich eine Rundungstoleranz von 32 Maschinen-Epsilon mal dem größeren Wert aus Dehnungs- und Grenzprozent. Die kleine positive Größe γ−1 wird separat ausgewertet, damit winzige Dehnungen nicht verloren gehen, wenn γ selbst auf eins rundet.

Gültige Eingaben aktualisieren beide Diagramme sofort. Der Regler untersucht 0≤β≤0,99; das exakte Geschwindigkeitsfeld erlaubt auch Werte näher an c und sehr kleine positive Geschwindigkeiten. L₀ ist der Anfangsabstand. Optionen enthält Beschleunigung, angenommene Dehnungsgrenze, Beispiele und deren Vergleichsergebnis. Zeiten und Ereignisse öffnet Detailwerte und beide Koordinatentabellen. Reset stellt a=9,81m/s²,L₀=10m,β=0,8 und Grenze35% wieder her. Exakte Eingabetexte bleiben erhalten, auch leere, ungültige, Komma- und führende-Null-Entwürfe; bisherige Zahlenwerte werden übernommen. Ergebnisse, Diagramme und Regler-/Ansichtsstände werden nicht gespeichert. Neuladen berechnet einen frischen Vergleich aus den Eingaben. Quelle: Lewis, Barnes und Sticka (2018), Bell’s Spaceships: The Views from Bow and Stern, §§2–3.