Bells Raumschiff-Paradoxon

Zwei Schiffe ruhen anfangs im Labor mit Abstand L₀. Sie starten dort gleichzeitig und durchlaufen identische Verläufe konstanter Eigenbeschleunigung a, gemessen mit ihren eigenen Beschleunigungsmessern. Bei der Zielgeschwindigkeit βc schalten beide Triebwerke im Labor gleichzeitig ab. Der Rechner vergleicht das danach gemeinsame inertiale Endruhesystem mit dem Labor; die lange Beschleunigungsphase wird nicht in Echtzeit animiert.

Im Labor bleibt der Abstand Llab = L₀. Nach beiden Brennschlüssen beträgt der gleichzeitig im gemeinsamen Ruhesystem gemessene Abstand Lrest = γL₀ mit γ = 1/√(1−β²). Die geometrische Zunahme ist (γ−1)L₀, die erforderliche relative Verlängerung 100(γ−1)%. Dies ist eine Messung in der gemeinsamen inertialen Endphase, keine universelle Definition eines Eigenabstands während der Beschleunigung.

A ist der Brennschluss des hinteren Schiffs und der Koordinatenursprung. B ist der vordere Brennschluss; A und B haben dieselbe Laborzeit. In mit L₀ normierten Endruhekoordinaten gilt A = (x′/L₀, ct′/L₀) = (0,0), B = (γ,−γβ). C = (γ,0) liegt auf der anschließenden inertialen Weltlinie des vorderen Schiffs und ist im Endruhesystem gleichzeitig mit A. A–B und A–C verwenden somit unterschiedliche Gleichzeitigkeit. Bei β = 0 fallen B und C zusammen. Die gezeichneten inertialen Weltlinien verlaufen nur ab dem jeweiligen Brennschluss nach oben; sie werden nicht geradlinig in die Beschleunigungsphase verlängert.

Für jedes Schiff gelten Labor-Brenndauer t = cγβ/a, verstrichene Bord-Eigenzeit τ = c atanh(β)/a und Flugweg ab Start d = c²(γ−1)/a mit c = 299792458 m/s. Die Brennschluss-Zeitdifferenz im Endruhesystem lautet t′B−t′A = −γβL₀/c. Diese Dauern und der gesamte Flugweg stehen separat; Ereignistabellen und Diagramm verwenden Koordinaten relativ zu A.

Der eingegebene Prozentwert ist eine angenommene Dehngrenze. Verglichen wird nur die erforderliche geometrische Verlängerung. Zugkraft, Spannung, Elastizität, Materialversagen und Bruchzeit werden nicht berechnet. „An der Grenze“ umfasst lediglich eine Rundungstoleranz von 32 Maschinen-Epsilon mal dem größeren Wert aus Dehnungs- und Grenzprozent. Die kleine positive Größe γ−1 wird separat ausgewertet, damit winzige Dehnungen nicht verloren gehen, wenn γ selbst auf eins rundet.

Vergleichen berechnet ausdrücklich. Änderungen entfernen alte Ergebnisse; Zurücksetzen behält die Eingaben. Gültige Eingaben bleiben beim Navigieren erhalten. Quelle: Lewis, Barnes und Sticka (2018), Bell’s Spaceships: The Views from Bow and Stern, §§2–3.