Perle auf rotierendem Ring

Eine punktförmige Perle gleitet reibungsfrei auf einem vertikalen Kreisring mit Radius R. Ein Motor hält dessen Winkelgeschwindigkeit ω um den vertikalen Durchmesser konstant. Die Ansicht rotiert mit dem Ring; sein Kreis bleibt daher fest. Der vorzeichenbehaftete Winkel θ wird vom tiefsten Punkt aus gemessen. Die anfängliche Tangentialgeschwindigkeit ist null. Es gibt weder einen künstlichen Anstoß noch Dämpfung.

Mit g = 9,81 m/s² gilt θ̈ = sin θ (ω² cos θ − g/R). Die Schwelle ist ωc = √(g/R). Darunter ist der tiefste Punkt stabil. An der Schwelle bleibt er durch ein quartisches Potentialminimum stabil, obwohl seine lineare Schwingungsfrequenz null ist. Oberhalb wird er instabil; die beiden stabilen Lagen sind θ* = ±acos(g/(ω²R)). Der höchste Punkt erscheint im Potentialdiagramm bei −180° und +180°: Das ist ein einziger physischer Punkt, der stets instabil ist. Exakte Starts am tiefsten oder höchsten Punkt bleiben dort bei Anfangsgeschwindigkeit null. Ohne Dämpfung pendelt sich eine ausgelenkte Perle nicht in einem Minimum ein.

Das Potential pro Masse lautet Ueff/m = gR(1 − cos θ) − ½ω²R²sin²θ, mit Nullpunkt unten. Erhalten bleibt die effektive Größe Eeff/m = ½R²θ̇² + Ueff/m. Sie ist nicht die mechanische Energie im Inertialsystem: Der Motor hält die Rotation aufrecht. Die angezeigte vorzeichenbehaftete Drift ist (Eeff(t)/m − Eeff(0)/m) / max(gR, ω²R²).

Gefüllte Kreise und durchgezogene Äste kennzeichnen stabile Gleichgewichte, hohle Kreise und gestrichelte Äste instabile. Eine Raute markiert den kritischen stabilen Punkt. Der rote Punkt zeigt die aktuelle Perle. Energielinie und Gleichgewichtstabelle verknüpfen ihre Bewegung mit den Potentialminima. Das Verzweigungsdiagramm zeigt die unteren Äste; der stets instabile höchste Punkt steht in der Tabelle und ist in den anderen beiden Ansichten markiert.

Start setzt die Bewegung fort; ein Schritt erhöht die Modellzeit um 0,05 s. Nach 60 s endet der Lauf. Pause, eine ausgeblendete Seite oder Navigation stoppen die Wiedergabe. Eingabeänderungen entfernen das alte Ergebnis; Zurücksetzen behält die Eingaben. Gültige Werte bleiben beim Navigieren erhalten. Die Wiedergabe folgt normalerweise der Echtzeit. Lange Anzeigeschritte sind auf 0,05 s Modellzeit begrenzt; auf ausgelasteten Geräten kann der Lauf daher langsamer werden.

Modell: David Tong, Classical Dynamics, §2.5.1; reibungsfreies und kritisches Verhalten bei Dutta und Ray (2012). Ein Reibungsterm aus dem dortigen Modell wird hier nicht verwendet.