Scheunen-Stab-Paradoxon

L₀ ist die Eigenlänge des Stabs, B die Eigenlänge der Scheune, jeweils im eigenen Ruhesystem gemessen. Die Relativgeschwindigkeit ist v = βc mit exakt c = 299.792.458 m/s. Bei positivem β bewegt sich der Stab im Scheunensystem nach rechts; negatives β kehrt die Richtung um. Am gemeinsamen Ursprung x = ct = 0 fallen beide Mittelpunkte zusammen.

Im Ruhesystem der Scheune liegen deren Enden bei ±B/2 und die Stabenden bei βct ± L₀/(2γ). Im Ruhesystem des Stabs liegen dessen Enden bei ±L₀/2 und die Scheunenenden bei −βct′ ± B/(2γ), mit γ = 1/√(1 − β²). Längen werden zwischen Endpunkten zur gleichen Zeit im gewählten System gemessen. Aussagen darüber, ob der Stab gerade vollständig zwischen den Türen liegt, können sich daher in beiden Systemen auf unterschiedliche Paare gleichzeitiger Ereignisse beziehen.

A und B bezeichnen immer die linke und rechte Scheunentür, nicht das vordere und hintere Ende. Ihre idealen Signalereignisse liegen im Scheunensystem fest bei (ct = 0, x = −B/2) und (ct = 0, x = +B/2), unabhängig davon, ob der Stab dann vollständig dazwischen liegt. Dies sind Ereignismarker, keine bewegten Türen, Kräfte, ein Kollisionsmodell oder ein Mechanismus zum Einsperren oder Stoppen des Stabs.

Die Lorentztransformation lautet x′ = γ(x − βct), ct′ = γ(ct − βx). Die Türsignale sind im Scheunensystem gleichzeitig; im Stabsystem beträgt die Differenz dagegen Δct′ = ct′B − ct′A = −γβB. Negatives β kehrt die Reihenfolge um. β = 0 ist regulär, beide Signale bleiben gleichzeitig. Der invariante Ereignisabstand ist Δ(ct)² − Δx² = −B².

Das Diagramm verwendet x und ct in Metern bei gleichem Achsenmaßstab. Die Tabellenzeiten stehen in Nanosekunden: t(ns) = ct/c × 10⁹. Grüne durchgezogene Linien sind die Stabenden, blaue gestrichelte Linien die Scheunenenden. Die waagerechte gepunktete Linie wählt eine gemeinsame Zeit im dargestellten System. Die Aussage zur aktuellen Lage bezieht sich nur auf diesen Zeitschnitt; übereinstimmende Endpunkte zählen innerhalb der Gleitkommarundung dazu.

Starten durchläuft den gesamten dargestellten ct-Bereich in etwa fünf Bildschirmsekunden; die Bewegung wird zur Veranschaulichung verlangsamt. Schritt erhöht ct um ein Vierzigstel des dargestellten halben Zeitbereichs. Die Zeit-null- und A/B-Tasten pausieren an diesen Koordinaten. Ein Systemwechsel stoppt die Wiedergabe und setzt die Uhr dieses Systems auf null; er erhält kein universelles „Jetzt“. Eingabeänderungen entfernen Ergebnisse. Zurücksetzen erhält die Eingaben. Gültige Eingaben und das gewählte System bleiben beim Zurücknavigieren erhalten.

Quellen: Illinois PHYS419: Folgen der speziellen Relativitätstheorie und UNSW Einstein Light: Lorentztransformationen.