Scheunen-Stab-Paradoxon

L₀ ist die Eigenlänge des Stabs, B die Eigenlänge der Scheune, jeweils im eigenen Ruhesystem gemessen. Die Relativgeschwindigkeit ist v = βc mit exakt c = 299.792.458 m/s. Bei positivem β bewegt sich der Stab im Scheunensystem nach rechts; negatives β kehrt die Richtung um. Am gemeinsamen Ursprung x = ct = 0 fallen beide Mittelpunkte zusammen.

Im Ruhesystem der Scheune liegen deren Enden bei ±B/2 und die Stabenden bei βct ± L₀/(2γ). Im Ruhesystem des Stabs liegen dessen Enden bei ±L₀/2 und die Scheunenenden bei −βct′ ± B/(2γ), mit γ = 1/√(1 − β²). Längen werden zwischen Endpunkten zur gleichen Zeit im gewählten System gemessen. Aussagen darüber, ob der Stab gerade vollständig zwischen den Türen liegt, können sich daher in beiden Systemen auf unterschiedliche Paare gleichzeitiger Ereignisse beziehen.

A und B bezeichnen immer die linke und rechte Scheunentür, nicht das vordere und hintere Ende. Ihre idealen Signalereignisse liegen im Scheunensystem fest bei (ct = 0, x = −B/2) und (ct = 0, x = +B/2), unabhängig davon, ob der Stab dann vollständig dazwischen liegt. Dies sind Ereignismarker, keine bewegten Türen, Kräfte, ein Kollisionsmodell oder ein Mechanismus zum Einsperren oder Stoppen des Stabs.

Die Lorentztransformation lautet x′ = γ(x − βct), ct′ = γ(ct − βx). Die Türsignale sind im Scheunensystem gleichzeitig; im Stabsystem beträgt die Differenz dagegen Δct′ = ct′B − ct′A = −γβB. Negatives β kehrt die Reihenfolge um. β = 0 ist regulär, beide Signale bleiben gleichzeitig. Der invariante Ereignisabstand ist Δ(ct)² − Δx² = −B².

Das Diagramm verwendet x und ct in Metern bei gleichem Achsenmaßstab. Die Tabellenzeiten stehen in Nanosekunden: t(ns) = ct/c × 10⁹. Grüne durchgezogene Linien sind die Stabenden, blaue gestrichelte Linien die Scheunenenden. Die waagerechte gepunktete Linie wählt eine gemeinsame Zeit im dargestellten System. Die Aussage zur aktuellen Lage bezieht sich nur auf diesen Zeitschnitt; übereinstimmende Endpunkte zählen innerhalb der Gleitkommarundung dazu.

Längen oder β ändern: Der Vergleich aktualisiert sich sofort. Bezugssystem wählen, dann genaue Zeit in ns eingeben oder den Regler benutzen. Er umfasst das dargestellte Zeitfenster und rundet eingetippte Werte nicht. A/B pausieren an den festen Türereignissen, t=0 kehrt zur Ausrichtung der Mittelpunkte zurück. Der markierte Zeitschnitt zeigt die Gleichzeitigkeit in diesem System. Ein Systemwechsel pausiert und wählt dort Zeit null; er bewahrt kein universelles Jetzt. Ungültige Zeit leert Szene und Schnitt, behält aber Weltlinien und Referenztabellen. Ungültige physikalische Eingaben verwerfen den Vergleich.

Abspielen läuft von der gewählten Zeit weiter und startet am Ende wieder an der unteren Grenze. Das ganze Zeitfenster dauert etwa fünf Bildschirmsekunden; jeder Bildschritt trägt höchstens 50 ms bei, Verzögerungen werden nicht nachgeholt. Pause hält den aktuellen Schnitt. Optionen enthält Beispiele und einen Schritt von einem Vierzigstel des Halbbereichs. Zurücksetzen stellt L₀=10 m, B=8 m, β=0,8, die Scheune als Ruhesystem und Zeit null her. Reduzierte Bewegung oder unsichtbare Seite/Tool pausieren; alle manuellen Bedienelemente bleiben verfügbar.

Nur der genaue Text für Längen, β und das gewählte Bezugssystem werden gespeichert, auch unvollständige oder ungültige Eingaben. Navigation, Neuladen und Sprachwechsel berechnen frische Diagramme bei Zeit null ohne Wiedergabe. Zeit, Ergebnisse, Plots und offene Menüs werden nicht gespeichert. Innerhalb einer Ansicht bleiben eingetippte Zeiten bei Größen- und Parameteränderungen exakt; bei einem kleineren Zeitfenster muss die Zeit gegebenenfalls korrigiert werden. Kleine Zeiten ungleich null erscheinen wissenschaftlich.

Quellen: Illinois PHYS 419: Folgen der speziellen Relativitätstheorie und UNSW Einstein Light: Lorentztransformationen.