Ballistisches Pendel

Ein Projektil der Masse mᵦ trifft die ruhende Pendelmasse mᴮ am unteren Punkt waagerecht und bleibt darin stecken. Die ideale Aufhängung ist ein masseloser starrer Stab der Länge L mit Punktmassen am Ende. Er kann Druck und Zug übertragen. Das Modell beschreibt weder ein Seilpendel noch einen massiven physikalischen Stab; Reibung, Luftwiderstand und Lagerverluste sind ausgeschlossen. Es gilt g = 9,81 m/s².

Während des momentanen Stoßes bleibt der horizontale Impuls erhalten: mᵦv = (mᵦ + mᴮ)V. Die kinetischen Energien davor und danach sind ½mᵦv² und ½(mᵦ + mᴮ)V². Ihre Differenz ist der Energieverlust beim unelastischen Stoß. Für eine Stoßgeschwindigkeit ungleich null beträgt der Verlustanteil mᴮ/(mᵦ + mᴮ). Bei v = 0 wird der angezeigte Verlustanteil als null definiert, da beide Energien null sind.

Nach dem Stoß bewegt sich die Gesamtmasse ohne Dämpfung: θ̇ = ω und ω̇ = −(g/L)sinθ. Die Höhe ist h = L(1 − cosθ), die kinetische Energie K = ½(mᵦ + mᴮ)L²ω² und die potenzielle Energie U = (mᵦ + mᴮ)gh. K + U bleibt konstant; der lineare Impuls bleibt während des anschließenden Schwungs nicht konstant.

Die energieäquivalente Höhe ist hₑ = V²/(2g). Für 0 < hₑ < 2L kehrt das Pendel bei θₘₐₓ = acos(1 − hₑ/L) um. Bei hₑ = 2L nähert sich die Separatrix 180° und der Höhe 2L nur asymptotisch. Oberhalb dieser Grenze rotiert das Stabpendel und erreicht die Höhe 2L mit einer Geschwindigkeit ungleich null; ein Umkehrwinkel wird nicht ausgegeben. Bei Geschwindigkeit null herrscht Ruhe. An der Grenze wird nur eine kleine Gleitkommatoleranz berücksichtigt.

Starten beginnt mit einem etwa 0,4 Sekunden langen schematischen Anflug, unabhängig vom gewählten Wiedergabetempo. Dies ist keine Projektilflugzeit; die Schwungzeit beginnt beim Stoß. Schritt überspringt den Anflug und erhöht die Schwungzeit um 0,05 s. Pause, Eingabeänderungen und das Verlassen des Werkzeugs stoppen die Wiedergabe. Zurücksetzen entfernt das Ergebnis und erhält die Eingaben. Gültige Eingaben bleiben beim Zurücknavigieren erhalten. Die Zeichnung passt den vollständigen Kreis für jede Stablänge ein; Winkel werden von der nach unten gerichteten Senkrechten gemessen und über ganze Umdrehungen fortgezählt.

Schwingungen und Rotationen verwenden den gemeinsamen Runge–Kutta-Integrator vierter Ordnung mit kleinen begrenzten Teilschritten. Die Separatrix nutzt ihre analytische Lösung, damit numerische Drift keine Rotation auslöst. Quellen: UCSB: ballistisches Pendel und MIT: Pendeldynamik.