Atwood-Maschine

Zwei Massen hängen an einem masselosen, nicht dehnbaren Seil über einer Rolle mit Radius R und Trägheitsmoment I. Die Achse ist reibungsfrei, das Seil rutscht nicht. Die Massen starten aus der Ruhe; g = 9,81 m/s². Positive Auslenkung s₁, Geschwindigkeit v₁ und Beschleunigung a bedeuten: m₁ bewegt sich abwärts, m₂ aufwärts.

a = (m₁ − m₂)g / (m₁ + m₂ + I/R²). Die getrennten Seilspannungen sind T₁ = m₁(g − a) und T₂ = m₂(g + a). Ihre Differenz erzeugt das Drehmoment der Rolle. Der Idealvergleich nutzt dieselben Massen und denselben Radius mit I = 0. Dann sind beide Spannungen gleich 2m₁m₂g/(m₁ + m₂). Gleiche Massen ergeben bei jedem erlaubten Trägheitsmoment ein gültiges Gleichgewicht.

Die Bewegung nutzt dieselbe konstante Beschleunigung: s₁ = at²/2 und v₁ = at. Ohne Schlupf gelten der Drehwinkel s₁/R und die Winkelgeschwindigkeit v₁/R, positiv für m₁ abwärts. Die Bewegungsenergie setzt sich aus (m₁ + m₂)v₁²/2 für die Translation und I(v₁/R)²/2 für die Rotation zusammen. Ihre Summe entspricht der Arbeit der Schwerkraft, (m₁ − m₂)gs₁.

Die Anzeige endet nach 0,35 m Weg je Masse. Geschwindigkeit und Energie bleiben als Ankunftszustand unmittelbar vor einem möglichen Aufprall erhalten. Eine Kollision oder Bremskraft wird nicht modelliert. Im Gleichgewicht bleibt die Zeit bei null. Die Skizze ist geometrisch nicht maßstäblich: Rollen- und Blockgrößen stellen den eingegebenen Radius oder die Massen nicht maßstäblich dar. Kraftpfeile verwenden innerhalb jeder Skizze einen gemeinsamen Längenmaßstab; Zahlenwerte stehen in der Tabelle.

Starten beginnt oder setzt fort; nach der Ankunft startet es wieder aus der Ruhe. Ein Schritt pausiert und erhöht die Zeit um 0,05 s, höchstens bis zur Weggrenze. Zurücksetzen bringt eine bestätigte Lösung in die Ruheposition. Änderungen physikalischer Eingaben verwerfen das alte Ergebnis. Die Wiedergabegeschwindigkeit betrifft nur die Anzeige. Beim Verlassen des Tools oder Ausblenden der Seite pausiert die Bewegung. Gespeichert werden nur die letzten gültigen Parameter und das Wiedergabetempo. Der optionale Geschwindigkeitsplot umfasst die gesamte Laufzeit; seine Markierung folgt dem aktuellen Zustand.

Quelle: MIT OpenCourseWare, 8.01SC Classical Mechanics (2016), Lektion 31.4: Atwood Machine. Im Tool gilt m₁ abwärts als positive Richtung.